Commutators in special linear groups over certain division rings
Анотація
УДК 512.5
Комутатори в спеціальних лінійних групах над деякими кільцями з діленням
Розглянуто питання, чи є елемент спеціальної лінійної групи ${\rm SL}_m(D)$ степеня $m\ge 1$ над кільцем з діленням $D$ комутатором. Наша перша мета полягає в тому, щоб показати, що у випадку, коли кільце з діленням $D$ є алгебраїчно замкненим і скінченновимірним над його центром, кожен елемент ${\rm SL}_m(D)$ є комутатором в ${\rm SL}_m(D).$ Також зазначено, що це питання пов'язане з похідним рядом у кільцях з діленням, описано похідний ряд у кільцях з діленням Мальцева–Ноймана нециклічних вільних груп над полями.
Посилання
M. Aaghabali, M. H. Bien, Subnormal subgroups and self-invariant maximal subfields in division rings, J. Algebra, 586, 844–856 (2021). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2021.07.014
D. Z. Dokovic, On commutators in real semisimple Lie groups, Osaka J. Math., 23, 223–228 (1986).
M. Droste, I. Rivin, On extension of coverings, Bull. London Math. Soc., 42, 1044–1054 (2010). DOI: https://doi.org/10.1112/blms/bdq068
E. A. Egorchenkova, N. L. Gordeev, Products of commutators on a general linear group over a division algebra, J. Math. Sci., 243, 561–572 (2019). DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-019-04556-8
E. W. Ellers, N. Gordeev, On the conjectures of J. Thompson and O. Ore, Trans. Amer. Math. Soc., 350, 3657–3671 (1998). DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-98-01953-9
A. Kanel-Belov, B. Kunyavskii, E. Plotkin, Word equations in simple groups and polynomial equations in simple algebras, Vestnik St. Petersburg Univ. Math., 46, 3–13 (2013). DOI: https://doi.org/10.3103/S1063454113010044
V. V Kursov, The commutant of the general linear group over a field, Dokl. Akad. Nauk BSSR, 23, 869–871 (1979).
C. Y. Hui, M. Larsen, A. Shalev, The Waring problem for Lie groups and Chevalley groups, Israel J. Math., 210, 81–100 (2015). DOI: https://doi.org/10.1007/s11856-015-1246-9
T. Y. Lam, {A first course in noncommutative rings, 2nd ed., Grad. Texts in Math., 131, Springer-Verlag, New York (2001). DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4419-8616-0
M. Mahdavi-Hezavehi, M. Motiee, Division algebras with radicable multiplicative groups, Commun. Algebra, 39, 4084–4096 (2011). DOI: https://doi.org/10.1080/00927872.2010.517819
M. Mahdavi-Hezavehi, Commutators in division rings revisited, Bull. Iranian Math. Soc., 26, 7–88 (2000).
T. Nakayama, Y. Matsushima, Über die multiplikative Gruppe einer p-adischen Divisionsalgebra, Proc. Imperial Acad. (Tokyo), 19, 622–628 (1943). DOI: https://doi.org/10.3792/pia/1195573246
O. Ore, Some remarks on commutators, Proc. Amer. Math. Soc., 2, 307–314 (1951). DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1951-0040298-4
R. Ree, Commutators in semi-simple algebraic groups, Proc. Amer. Math. Soc., 15, 457–460 (1964). DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1964-0161944-X
D. Segal, {Words: notes on verbal width in groups, London Math. Soc. Lecture Notes Ser., 361, Cambridge Univ. Press, Cambridge (2009). DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9781139107082
K. Shoda, Einige Sätze über Matrizen, Japan J. Math., 13, 361–365 (1937). DOI: https://doi.org/10.4099/jjm1924.13.0_361
A. Thom, A. Elkasapy, About Got^os method showing surjectivity of word maps, Indiana Univ. Math. J., 63, 1553–1565 (2014). DOI: https://doi.org/10.1512/iumj.2014.63.5391
R. C. Thompson, Commutators in the special and general linear groups, Trans. Amer. Math. Soc., 101, 16–33 (1961). DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1961-0130917-7
L. N. Vaserstein, E. Wheland, Commutators and companion matrices over rings of stable rank $1$, Linear Algebra and Appl., 142, 263–277 (1990). DOI: https://doi.org/10.1016/0024-3795(90)90270-M
Авторські права (c) 2023 Mai Hoang Bien
Для цієї роботи діють умови ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.
