Класичні розв’язки рівняння локальних флуктуацій гравітаційних полів Ріса та їх властивості
Анотація
УДК 517.937, 519.21
Розглядається псевдодиференцiйне рiвняння з оператором Рiса дробового диференцiювання, яке природно узагальнює вiдоме рiвняння фрактальної дифузiї. Його фундаментальний розв’язок задачi Кошi є щiльнiстю розподiлу ймовiрностей для сили локальної взаємодiї рухомих об’єктiв у вiдповiдному гравiтацiйному полi Рiса. Для цього рiвняння встановлено коректну розв’язнiсть задачi Кошi в класi необмежених, розривних з iнтегровною особливiстю початкових функцiй. При цьому знайдено форму класичного розв’язку цiєї задачi та дослiджено властивостi його гладкостi й поведiнку на нескiнченностi. Також, за певних умов на коефiцiєнт флуктуацiї, встановлено аналог принципу максимуму, за допомогою якого обґрунтовано єдинiсть розв’язку задачi Кошi.
Посилання
M. Riesz, Potentiels de divers ordres et leurs fonctions de Green, C. R. Congr. Intern. Math. Oslo, 2, 62 – 63 (1936).
V. A. Litovchenko, Holtsmark fluctuations of non-stationary gravitational fields, Ukr. Mat. Zh. 73, №1, 69 – 76 (2021); https://doi.org/10.37863/umzh.v73i1.6113. DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-021-01909-y
L´evy P., Calcul des probabilities, Gauthier-Villars, Paris (1925).
V. M. Zolotarev, Odnomernye ustojchy`vye raspredeleny`ya, Nauka, Moskva (1983).
J. Holtsmark, Über die Verbreiterung von Spektrallinier, Ann. Phys., 58, 577 – 630 (1919), https://doi.org/10.1002/andp.19193630702 DOI: https://doi.org/10.1002/andp.19193630702
S. Chandrasekhar, Stohastic problems in physics and astronomy, Rev. Modern Phys., 15, № 1, 1 – 89 (1943), https://doi.org/10.1103/RevModPhys.15.1 DOI: https://doi.org/10.1103/RevModPhys.15.1
V. A. Litovchenko, Pseudodifferential Equation of Fluctuations of nonstationary gravitational fields, J. Math., 2021, Article ID 6629780, (2021) 8 p.; https://doi.org/10.1155/2021/6629780. DOI: https://doi.org/10.1155/2021/6629780
S. G. Samko, A. A. Kilbas, O. I. Marichev, Integrals and derivatives of fractional order and some of their applications, ``Nauka i Tekhnika'', Minsk (1987).
Oliver Ibe, Markov processes for stochastic modeling, 2nd Ed., Elsevier (2013); https://doi.org/10.1016/C2012-0-06106-6. DOI: https://doi.org/10.1016/C2012-0-06106-6
V. V. Uchajky`n, Metod drobnyx proy`zvodnyx, Arty`shok: Ul`yanovsk (2008).
N. Jacob, Pseudo differential operators and Markov processes, in 3 vol. Imperial College Press, London (2001, 2002, 2005), https://doi.org/10.1142/9781860949746 DOI: https://doi.org/10.1142/p245
J. Bertoin, L´evy processes, Cambridge Tracts in Math., vol. 121, Cambridge Univ. Press, Cambridge (1996).
D. Applebaum, L´evy processes and stochastic calculus, Cambridge Univ. Press, Cambridge (2009); https://doi.org/10.1017/CBO9780511809781. DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9780511809781
T. A. Agekyan, Teory`ya veroyatnostej dlya astronomov y` fy`zy`kov, Nauka, Moskva (1974).
I. I. Sobel’man, An introduction to the theory of atomic spectra, Int. Ser. Natur. Phil., vol. 40, (1972); https://doi.org/10.1016/C2013-0-02394-8 DOI: https://doi.org/10.1016/C2013-0-02394-8
M. Kacz, Veroyatnost y smezhnye voprosy v fyzyke, Myr, Moskva (1965).
A. F. Nikiforov, V. G. Novikov, V. B. Uvarov, Kvantovo-statisticheskie modeli vysokotemperaturnoj plazmy i metody rascheta rosselandovyx probegov i uravnenyi sostoyaniya, Fizmatlit, Moskva (2000).
C. Bucur, E. Valdinoci, Non-local diffusion and applications, Lec. Notes Unione Mat. Ital., 20 (2016); https://doi.org/10.1007/978-3-319-28739-3. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-28739-3
A. Reynolds, Liberating L´evy walk research from the shackles of optimal foraging, Phys. Life Rev., 14, 59 – 83 (2015). DOI: https://doi.org/10.1016/j.plrev.2015.03.002
G. M. Viswanathan, V. Afanasyev, S. V. Buldyrev, S. Havlin, M. G. E. da Luz, E. P. Raposo, H. E. Stanley, Lévy flights in random searches, Phys. A, 282, № 1-2, 1 – 12 (2000); https://doi.org/10.1016/S0378-4371(00)00071-6 DOI: https://doi.org/10.1016/S0378-4371(00)00071-6
A. Friedman, PDE problems arising in mathematical biology, Netw. Heterog. Media, 7, № 4, 691 – 703 (2012); https://doi.org/10.3934/nhm.2012.7.691. DOI: https://doi.org/10.3934/nhm.2012.7.691
E. Montefusco, B. Pellacci, G. Verzini, Fractional diffusion with Neumann boundary conditions: the logistic equation, Discrete and Contin. Dyn. Syst. Ser. B, 18, № 8, 2175 – 2202 (2013); https://doi.org/10.3934/dcdsb.2013.18.2175. DOI: https://doi.org/10.3934/dcdsb.2013.18.2175
S. D. Ejdel`man, Ya. M. Dry`n`, Neobxody`mye y` dostatochnye uslovy`ya staby`ly`zacy`y` resheny`ya zadachy` Koshy` dlya paraboly`chesky`x psevdody`fferency`al`nyx uravneny`j, Pry`bly`zhennye metody matematy`cheskogo analy`za, 60 – 69 (1974).
Ya. M. Drin`, Vy`vchennya odnogo klasu parabolichny`x psevdody`ferenczial`ny`x operatoriv u prostorax gel`derovy`x funkczij, Dop. AN URSR. Ser. A, № 1, 19 – 21 (1974).
S. D. Ejdel`man, Ya. M. Dry`n`, Postroeny`e y` y`ssledovany`e klassy`chesky`x fundamental`nyx resheny`j zadachy` Koshy` ravnomerno paraboly`chesky`x psevdody`fferency`al`nyx uravneny`j, Mat. y`ssled., vyp. 63, 60 – 69 (1981).
M. V. Fedoryuk, Asy`mptoty`ka funkcy`y` Gry`na psevdody`fferency`al`nogo paraboly`cheskogo uravneny`ya, Dy`fferencz. uravneny`ya, 14, № 7, 1296 – 1301 (1978).
W. R. Schneider, Stable distributions: Fox function representation and generalization, Lect. Notes Phys, 262, 497 – 511 (1986), https://doi.org/10.1007/3540171665_92 DOI: https://doi.org/10.1007/3540171665_92
R. M. Blumenthal, R. K. Getoor, Some theorems on stable processes, Trans. Amer. Math. Soc., 95, 263 – 273 (1960), https://doi.org/10.2307/1993291 DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1960-0119247-6
A. N. Kochubej, Paraboly`chesky`e psevdody`fferency`al`nye uravneny`ya, gy`persy`ngulyarnye integraly i markovcky`e processy, Y`zv. AN SSSR. Ser. mat., 52, № 5, 909 – 934 (1988).
S. D. Eidelman, S. D. Ivasyshen, A. N. Kochubei, Analytic methods in the theory of differential and pseudo-differential equations of parabolic type, Birkh¨auser, Basel (2004), https://doi.org/10.1007/978-3-0348-7844-9 DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-7844-9
V. A. Litovchenko, Zadacha Koshi z operatorom Rissa drobovogo dy`ferencziyuvannya, Ukr. mat. zhurn., 57, № 12, 1653 – 1667 (2005).
V. A. Litovchenko, Zadacha Koshy` dlya odnogo klassa paraboly`chesky`x psevdody`fferency`al`nyx sy`stem s negladky`my` sy`mvolamy`, Sy`b. mat. zhurn, 49, № 2, 375 – 394 (2008); https://doi.org/10.1007/s11202-008-0030-z. DOI: https://doi.org/10.1007/s11202-008-0030-z
V. Knopova, A. Kulik, Parametrix construction of the transition probability density of the solution to an SDE driven by $alpha$ -stable noise, Ann. Inst. Henri Poincar´e Probab. Stat., 54, № 1, 100 – 140 (2018); https://doi.org/10.1214/16-AIHP796. DOI: https://doi.org/10.1214/16-AIHP796
V. P. Knopova, A. N. Kochubei, A. M. Kulik, Parametrix methods for equations with fractional Laplacians, vol. 2, Fractional differential equations, De Gruyter, Berlin, Boston (2019), p. 267 – 298; https://doi.org/10.1515/9783110571660-013. DOI: https://doi.org/10.1515/9783110571660-013
Wei Liu, Renming Song, Longjie Xie, Gradient estimates for the fundamental solution of Levy type operator, Adv. Nonlinear Anal., 9, № 1, 1453 – 1462 (2020); https://doi.org/10.1515/anona-2020-0062. DOI: https://doi.org/10.1515/anona-2020-0062
Y`. M. Gel`fand, G. E. Shy`lov, Prostranstva osnovnыx y` obobshhennыx funkcy`j, Fy`zmatgy`z, Moskva (1958).
L. Schwartz, Theorie Des Distributions, Hermann Paris (1951).
O. Frostman, Potentiel d’equilibre et capacit'e des ensembles avec quelques applications a la th´eorie des fonctions, Medd. Lunds Univ. Mat. S´emin, 3, 1 – 118 (1935).
M. Riesz, Integrales de Riemann – Liouville et potentiels, Acta Litt. Acad. Sci. Szeged, 9, 1 – 42 (1938).
S. L. Sobolev, Ob odnoj teoreme funkcy`onal`nogo analy`za, Mat. sb., 4, № 3, 471 – 497 (1938).
G.Thorin, Convexiti theorems, Comm. Semin. Math. Univ. Lund. Uppsala, 9, 1 – 57 (1948).
E. Stein, The characterisation of functions arising as potentials, Bull. Amer. Math. Soc., 67, № 1, 102 – 104 (1961), https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1961-10517-X DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1961-10517-X
P.Y. Ly`zorky`n, Opy`sany`e prostranstv $L^r_p(R^n)$ v termy`nax raznostnyx sy`ngulyarnyx y`ntegralov, Mat. sb., 81, № 1, 79 – 91 (1970).
S. G. Samko, O prostranstvax ry`ssovyx potency`alov O prostranstvax ry`ssovyx potency`alov, Y`zv. AN SSSR. Ser. mat., 40, № 5, 1143 – 1172 (1976).
Авторські права (c) 2022 Владислав Антонович Літовченко
Для цієї роботи діють умови ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.
