Calculating heat and wave propagation from lateral Cauchy data
Анотація
УДК 519.6
Розрахунок поширення тепла i хвиль за даними Кошi на бiчнiй межi
Наведено огляд останнiх методiв, що ґрунтуються на частковiй дискретизацiї за часом, для обернених некоректних задач обчислення розв’язку еволюцiйних рiвнянь за нестацiонарними даними Кошi. Зокрема, значення функцiї та її нормальної похiдної заданi на частинi бiчної межi просторово-часового цилiндра i необхiдно згенерувати вiдповiднi данi на рештi бiчної межi для випадкiв рiвняння теплопровiдностi та хвильового рiвняння. Часткова дискретизацiя за часом полягає у застосуваннi перетворення Лагерра або методу Роте (скiнченно-рiзницева апроксимацiя) i має ту особливiсть, що для рiвняння теплопровiдностi i хвильового рiвняння отримано однаковi послiдовностi елiптичних задач, якi вiдрiзняються лише значеннями певних параметрiв. Елiптичнi рiвняння розв’язано чисельно за допомогою граничних iнтегральних рiвнянь методом Нистрьома або методом фундаментальних розв’язкiв. Теоретичнi властивостi викладенi разом iз стратегiями дискретизацiї за просторовими змiнними. Отримано системи лiнiйних рiвнянь для знаходження значень густин або коефiцiєнтiв. Для одержання стiйкого розв’язку лiнiйних рiвнянь застосовано регуляризацiю Тихонова. Наведенi числовi результати показують, що запропонованi пiдходи дають хорошу точнiсть при економних обчислювальних затратах.
Посилання
M. Abramowitz, I. A. Stegun, Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables, Dover Publ., New York (1972).
C. J. S.Alves, On the choice of source points in the method of fundamental solutions, Eng. Anal. Bound. Elem., 33, 1348 – 1361 (2009), https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2009.05.007 DOI: https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2009.05.007
M. Bellassoued, M. Yamamoto, Carleman estimates and applications to inverse problems for hyperbolic systems, Springer-Verlag, Tokyo (2017), https://doi.org/10.1007/978-4-431-56600-7 DOI: https://doi.org/10.1007/978-4-431-56600-7
I. Borachok, R. Chapko, B. T. Johansson, A method of fundamental solutions for heat and wave propagation from lateral Cauchy data, Numer. Algorithms, (2021). https://doi.org/10.1007/s11075-021-01120-x . DOI: https://doi.org/10.1007/s11075-021-01120-x
I. Borachok, R. Chapko, B. T. Johansson, A method of fundamental solutions with time-discretisation for wave motion from lateral Cauchy data, J. Sci. Comput. (to appear).
Y. H. Cao, L. H. Kuo, Hybrid method of space-time and Houbolt methods for solving linear time-dependent problems, Eng. Anal. Bound. Elem., 128, 58 – 65 (2021), https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2021.03.021 DOI: https://doi.org/10.1016/j.enganabound.2021.03.021
R. Chapko, B. T. Johansson, A boundary integral equation method for numerical solution of parabolic and hyperbolic Cauchy problems, Appl. Numer. Math., 129, 104 – 119 (2018), https://doi.org/10.1016/j.apnum.2018.03.004 DOI: https://doi.org/10.1016/j.apnum.2018.03.004
R. Chapko, B. T. Johansson, Numerical solution of the Dirichlet initial boundary value problem for the heat equation in exterior 3-dimensional domains using integral equations, J. Eng. Math., 103, 23 – 37 (2017), https://doi.org/10.1007/s10665-016-9858-6 DOI: https://doi.org/10.1007/s10665-016-9858-6
R. Chapko, B. T. Johansson, On the numerical solution of a Cauchy problem for the Laplace equation via a direct integral equation approach, Inverse Probl. Imaging, 6, 25 – 38 (2012), https://doi.org/10.3934/ipi.2012.6.25 DOI: https://doi.org/10.3934/ipi.2012.6.25
R. Chapko, B. T. Johansson, Y. Muzychuk, A. Hlova, Wave, propagation from lateral Cauchy data using a boundary element method, Wave Motion, 91 (2019), https://doi.org/10.1016/j.wavemoti.2019.102385 DOI: https://doi.org/10.1016/j.wavemoti.2019.102385
R. Chapko, B. T. Johansson, Y. Savka, On the use of an integral equation approach for the numerical solution of a Cauchy problem for Laplace equation in a doubly connected planar domain, Inverse Probl. Sci. Eng., 22, 130 – 149 (2014), https://doi.org/10.1080/17415977.2013.829467 DOI: https://doi.org/10.1080/17415977.2013.829467
R. Chapko, R. Kress, Rothe’s method for the heat equation and boundary integral equations, J. Integral Equat. and Appl., 9, 47 – 69 (1997), https://doi.org/10.1216/jiea/1181075987 DOI: https://doi.org/10.1216/jiea/1181075987
R. Chapko, R. Kress, On the numerical solution of initial boundary value problems by the Laguerre transformation and boundary integral equations, Ser. Math. Anal. and Appl., vol. 2, Integral and Integrodifferential Equations: Theory, Methods and Applications, Gordon and Breach Sci. Publ., Amsterdam, (2000), p. 55 – 69 .
G. Fairweather, A. Karageorghis, The method of fundamental solutions for elliptic boundary value problems, Adv. Comput. Math., 9, no. 1-2, 69 – 95 (1998), https://doi.org/10.1023/A:1018981221740 DOI: https://doi.org/10.1023/A:1018981221740
H`ao, Dinh Nho, Methods for inverse heat conduction problems, Peter Lang, Frankfurt am Main (1998), https://doi.org/10.1006/jcis.1997.5316 DOI: https://doi.org/10.1006/jcis.1997.5316
A. Hasanov Hasanoğlu, V. G. Romanov, Introduction to inverse problems for differential equations, Springer, Cham (2017), https://doi.org/10.1007/978-3-319-62797-7 DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-62797-7
J. C. Houbolt, A recurrence matrix solution for the dynamic response of elastic aircraft, J. Aeronaut. Sci., 17, 540 – 550 (1950). DOI: https://doi.org/10.2514/8.1722
V. Isakov, Inverse problems for partial differential equations, 3rd, Springer, Cham (2017), https://doi.org/10.1007/978-3-319-51658-5 DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-319-51658-5_1
V. M. Kaĭstrenko, The Cauchy problem for a second order hyperbolic equation with data on a time-like surface, Sibirsk. Mat. Zh., 16, 395 – 398 (1975); English translation: Sib. Math. J., 16, 306 – 308 (1975).
A. Karageorghis, D. Lesnic, L. Marin, A survey of applications of the MFS to inverse problems, Inverse Probl. Sci. Eng., 19, 309 – 336 (2011), https://doi.org/10.1080/17415977.2011.551830 DOI: https://doi.org/10.1080/17415977.2011.551830
M. V.Klibanov, Carleman estimates for the regularization of ill-posed Cauchy problems, Appl. Numer. Math., 94, 46 – 74 (2015), https://doi.org/10.1016/j.apnum.2015.02.003 DOI: https://doi.org/10.1016/j.apnum.2015.02.003
M. M. Lavren´tev, V. G. Romanov, S. P. Shishatski˘ı, Ill-posed problems of mathematical physics and analysis, Amer. Math. Soc., Providence, RI (1986). DOI: https://doi.org/10.1090/mmono/064
Авторські права (c) 2022 Роман Степанович Хапко, B. Tomas Johansson
Для цієї роботи діють умови ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.
