Топологiчнi та геометричнi властивостi множини точок 1-неопуклостi слабко 1-опуклої множини на площинi

Анотація

УДК 514.172

Розглянуто клас узагальнено опуклих множин на дійсній площині, які називаються слабко $1$-опуклими.
Точка доповнення множини дійсного евклідового простору $\mathbb{R}^n,$ $n\ge 2,$ до всього простору $\mathbb{R}^n$ називається точкою $\boldsymbol m$-неопуклості множини, $m=\overline{1,n-1},$ якщо довільна $m$-вимірна площина, яка проходить через цю точку, перетинає задану множину.
Відкрита множина із простору $\mathbb{R}^n,$ $n\ge 2,$ називається слабко $\boldsymbol m$-опуклою, $m=\overline{1,n-1},$ якщо межа множини не містить точок $m$-неопуклості цієї множини.
При цьому із класу відкритих слабко $1$-опуклих множин на площині виділено підклас множин зі скінченним числом компонент зв'язності і непорожньою множиною точок $1$-неопуклості.
У роботі досліджуються переважно властивості множини точок $1$-неопуклості множини підкласу.
Зокрема, доведено, що множина точок $1$-неопуклості множини підкласу є відкритою;
довільна компонента зв'язності множини точок $1$-неопуклості множини підкласу – внутрішність опуклого багатокутника;
для довільного опуклого багатокутника існує така множина підкласу, що її множина точок $1$-неопуклості збігається з внутрішністю багатокутника.