Нова алгоритмічна реалізація точних триточкових різницевих схем для систем нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку

М. В. Кутнів; М.  Круль

doi:10.37863/umzh.v74i2.6935

М. В. Кутнів Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв; Жешув. технол. ун-т, Польща)
М. Круль Жешув. технол. ун-т, Польща

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v74i2.6935

Ключові слова: нелінійні звичайні диференціальні рівняння, точна триточкова різницева схема, триточкові різницеві схеми високої точності, ітераційний метод

Анотація

УДК 519.62

Побудовано та обґрунтовано триточковi рiзницевi схеми високого порядку точностi на нерiвномiрнiй сiтцi для систем нелiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь другого порядку з похiдною у правiй частинi i крайовими умовами першого роду. Побудовано нову апроксимацiю похiдної розв’язку крайової задачi у вузлах сiтки. Доведено iснування та єдинiсть розв’язку, встановлено порядок точностi рiзницевих схем. Розроблено iтерацiйний метод типу Ньютона знаходження розв’язку цих схем. Запропоновано алгоритм автоматичного вибору точок сiтки, який гарантує досягнення заданої точностi. Наведено чисельнi розв’язування прикладiв, якi пiдтверджують ефективнiсть i надiйнiсть розробленого алгоритму.

Посилання

V. L. Makarov, A. A. Samarskii, Exact three-point difference schemes for second-order nonlinear ordinary differential equations and their implementation, Soviet Math. Dokl., 41, № 3, 495 – 500 (1991).

M. V. Kutniv, V. L. Makarov, A. A. Samarskii, Accurate three-point difference schemes for second-order nonlinear ordinary differential equations and their implementation, Comput. Math. and Math. Phys., 39, № 1, 45 – 60 (1999).

M. V. Kutniv, Accurate three-point difference schemes for second-order monotone ordinary differential equations and their implementation, Comput. Math. and Math. Phys., 40, № 3, 368 – 382 (2000).

M. V. Kutniv, Modified three-point difference schemes of high-accuracy order for second order nonlinear ordinary differential equations, Comput. Methods Appl. Math., 3, № 2, 287 – 312 (2003). DOI: https://doi.org/10.2478/cmam-2003-0019

L. B. Gnativ, M. V. Kutniv, A. I. Chukhrai, Generalized three-point difference schemes of high order of accuracy for nonlinear ordinary differential equations of second order, J. Math. Sci., 167, № 1, 62 – 75 (2010), https://doi.org/10.1007/s10958-010-9902-4 DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-010-9902-4

M. Krol, M. V. Kutniv, Three-point difference schemes of high-order accuracy for second-order nonlinear differential equations with boundary conditions of the third kind, J. Comput. and Appl. Math., № 2(116), 43 – 62 (2014).

I. P. Gavrilyuk, M. Hermann, V. L. Makarov, M. V. Kutniv, Exact and truncated difference schemes for boundary value ODEs, Springer AG, Basel (2011), https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0107-2 DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0107-2

M. V. Kutniv, Three-point difference schemes of high accuracy order for systems of nonlinear ordinary differential equations of the second order, Comput. Math. and Math. Phys., 41, № 6, 860 – 873 (2001).

M. V. Kutniv, High-order accurate three-point difference schemes for systems of second-order ordinary differential equations with a monotone operator, Comput. Math. and Math. Phys., 42, № 5, 724 – 738 (2002).

L. B. Gnativ, M. V. Kutniv, V. L. Makarov, Generalized three-point difference schemes of high-order accuracy for systems of second order nonlinear ordinary differential equations, Different. Equat., 45, № 7, 998 – 1019 (2009), https://doi.org/10.1134/S0012266109070088 DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266109070088

E. Hairer, S. P. N rsett, G. Wanner, Solving ordinary differential equations I. Nonstiff problems, Springer-Verlag, Berlin etc. (1987), https://doi.org/10.1007/978-3-662-12607-3 DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-12607-3

L. B. Gnativ, M. Krol, M. V. Kutniv, Exact three-point difference schemes for second order nonlinear differential equations with boundary conditions of the third kind, J. Numer. Appl. Math., № 3(109), 34 – 52 (2012), https://doi.org/10.1016/j.cam.2015.12.003 DOI: https://doi.org/10.1016/j.cam.2015.12.003

A. A. Samarskii, E. S. Nikolaev, Numerical methods for grid equations, vol. 2, Iterative methods, Birkh¨auser, Basel etc. (1989). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-9272-8

V. A. Trenohyn, Funktsyonalnыi analyz, Nauka, Moskva (1980).

J. R. Cash, F. Mazzia, Hybrid mesh selection algorithms based on conditioning for two-point boundary value problems, J. Numer. Anal., Industrial and Appl. Math., 1, № 6, 81 – 90 (2006).

Ch. Tsitouras, S. N. Papakostas, Cheap error estimation for Runge-Kutta methods, SIAM J. Sci. Comput., 20, № 6, 2067 – 2088 (1999), https://doi.org/10.1137/S1064827596302230 DOI: https://doi.org/10.1137/S1064827596302230