Моногенні функції зі значеннями у комутативних комплексних алгебрах  другого рангу з одиницею та узагальнене бігармонічне рівняння з подвійною характеристикою

С. В. Грищук

doi:10.37863/umzh.v74i1.6948

С. В. Грищук Інститут математики НАН України, Київ

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v74i1.6948

Ключові слова: моногенні функції, комутативні алгебри, рівняння з частинними похідними та комалексними коефіцієнтами четвертого порядку однорідне

Анотація

УДК 517.9

Доведено, що кожна комутативна й асоціативна алгебра $\mathbb{B}_{\ast}$ другого рангу з одиницею над полем комплексних чисел містить такі базиси $\{e_1,e_2\},$ що $\mathbb{B}_{\ast}$-значні „аналітичні'' функції $\Phi(xe_1+ye_2)$ ($x,$ $y$ – дійсні змінні) задовольняють однорідне рівняння з частинними похідними четвертого порядку та комплексними коефіцієнтами, характеристичне рівняння якого має один подвійний корінь, а решта коренів є проcтими. Наведено повний опис множини трійок $\left(\mathbb{B}_{\ast}, \{e_1,e_2\}, \Phi\right).$

Доведено, що кожна комутативна і асоціативна алгебра $\mathbb{B}_{\ast}$ другого рангу з одиницею над полем комплексних чисел містить базиси $\{e_1,e_2\}$, такі, що $\mathbb{B}_{\ast}$-значні ``„аналiтичнi” функції $\Phi(xe_1+ye_2)$ ($x$, $y$ ~ дійсні змінні) задовольняють однорідне рівняння з частинними похідними четвертого порядку та комплексними коефіцієнтами, характеристичне рівняння якого має один подвійний корінь, а решта коренів є проcтими. Наведено повний
опис множини трійок широкого класу $\left(\mathbb{B}_{\ast}, \{e_1,e_2\}, \Phi\right)$.

Посилання

S. V. Gryshchuk, Monogenic functions with values in сommutative сomplex algebras of the second rank with unit and generalized biharmonic equation with simple nonzero simple characteristics, Ukr. mat. zhurn., 73, № 4, 474 – 487 (2021), https://doi.org/10.37863/umzh.v73i4.6199. DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-021-01943-w

S. G. My`xly`n, Ploskaya zadacha teory`y` uprugosty`, Tr. Sejsm. y`n-ta AN SSSR, № 65 (1934), 83 s.

N. E. Tovmasyan, Non-regular differential equations and calculations of electromagnetic fields, World Sci. Publ., Singapore (1998), https://doi.org/10.1142/9789812816627 DOI: https://doi.org/10.1142/3665

E. A. Buryachenko, O razmernosty` yadra zadachy` Dy`ry`xle dlya uravneny`j chetvertogo poryadka, Dy`fferencz. uravneny`ya, 51, № 4, 472 – 480 (2015).

I. P. Mel`ny`chenko, By`garmony`chesky`e bazy`sy v algebrax vtorogo ranga, Ukr. mat. zhurn., 38, № 2, 252 – 254 (1986).

S. V. Gryshchuk, Komutaty`vni kompleksni algebry` drugogo rangu z ody`ny`ceyu ta deyaki vy`padky` ploskoyi ortotropiyi. I, Ukr. mat. zhurn., 70, № 8, 1058 – 1071 (2018).

S. V. Gryshchuk, B0 -valued monogenic functions and their applications to the theory of anisotropic plane media, Analytic methods of analysis and differential equations: AMADE-2018, Cambridge Sci. Publ., Cambridge (2020).

S. V. Gryshchuk, Monogenni funkcziyi u dvovy`mirny`x komutaty`vny`x algebrax dlya rivnyan` ploskoyi ortotropiyi, Praczi In-tu pry`kl. matematy`ky` i mexaniky` NAN Ukrayiny`, 32, 18 – 29 (2018).

P. W. Ketchum, Solution of partial differential equations by means of hypervariables, Amer. J. Math., 54, № 2, 253 – 264 (1932), https://doi.org/10.2307/2370988 DOI: https://doi.org/10.2307/2370988

V. F. Kovalev, Y`. P. Mel`ny`chenko, By`garmony`chesky`e funkcy`y` na by`garmony`cheskoj ploskosty`, Dokl. AN USSR. Ser. А, № 8, 25 – 27 (1981).

R. Z. Yeh, Hyperholomorphic functions and higher order partial differential equations in the plane, Pacif. J. Math., 142, № 2, 379 – 399 (1990), http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102646352 DOI: https://doi.org/10.2140/pjm.1990.142.379

V. S. Shpakivs`ky`j, Giperkompleksny`j metod rozv'yazuvannya linijny`x dy`ferenczial`ny`x rivnyan` z chasty`nny`my` poxidny`my`, Praczi In-tu pry`kl. matematy`ky` i mexaniky` NAN Ukrayiny`, 32, 147 – 168 (2018).

V. S. Shpakivskyi, Monogenic functions in finite-dimensional commutative associative algebras, Zb. pracz` In-tu matematy`ky` NAN Ukrayiny`, 12, № 3, 251 – 268 (2015).

S. A. Plaksa, R. P. Puxtayevy`ch, Konstrukty`vny`j opy`s monogenny`x funkczij v skinchennovy`mirnij napivprostij komutaty`vnij algebri, Dop. NAN Ukrayiny`, № 1, 14 – 21 (2014).

S. A. Plaksa, R. P. Pukhtaievych, Monogenic functions in a finite-dimensional semi-simple commutative algebra, An. ¸ Stiin¸t. Univ. “Ovidius” Constan¸ta Ser. Mat., 22, № 1, 221 – 235 (2014), https://doi.org/10.2478/auom-2014-0018 DOI: https://doi.org/10.2478/auom-2014-0018

E. Study, Über Systeme complexer Zahlen und ihre Anwendungen in der Theorie der Transformationsgruppen, Monatsh. Math., 1, № 1, 283 – 354 (1890), https://doi.org/10.1007/BF01692479 DOI: https://doi.org/10.1007/BF01692479

N. G. Chebotarev, Vvedeny`e v teory`yu algebr, 3-e y`zd., Fy`zy`ko-matematy`cheskoe nasledy`e: matematy`ka (algebra), Y`zd-vo LKY`, Moskva, (2008).

W. E. Baylis (Ed.), Clifford (geometric) algebras: with applications to physics, mathematics, and engineering, Birkh¨auser, Boston etc. (1996), https://doi.org/10.1007/978-1-4612-4104-1 DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-4104-1

S. V. Gry`shhuk, S. A. Plaksa, O logary`fmy`chnom vychete monogennyx funkcy`j by`garmony`cheskoj peremennoj, Zb. pracz` In-tu matemary`ky` NAN Ukrayiny`, 7, № 2, 227 – 234 (2010).

S. V. Gry`shhuk, S. A. Plaksa, Monogennye funkcy`y` v by`garmony`cheskoj algebre, Ukr. mat. zhurn., 61, № 12, 1587 – 1596 (2009).

Y`. P. Mel`ny`chenko, S. A. Plaksa, Kommutaty`vnye algebry y` prostranstvennye potency`al`nye polya, Y`n-t matematy`ky` NAN Ukray`ny, Ky`ev (2008).