$K$-функціонали та екстремальні задачі теорії апроксимації класів аналітичних у крузі функцій. II.

С. Б. Вакарчук; М. Б.  Вакарчук

doi:10.37863/umzh.v74i7.6981

С. Б. Вакарчук Унiверситет iм. А. Нобеля, Днiпро
М. Б. Вакарчук Днiпр. нац. ун-т iм. О. Гончара

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v74i7.6981

Ключові слова: K-функціонал, мажоранта, поперечник, клас функцій, коефіцієнти Тейлора

Анотація

УДК 517.5

У банахових просторах Гардi, Бергмана та Гварадзе аналiтичних в одиничному крузi функцiй отримано точнi значення колмогоровського, бернштейнiвського та тригонометричного $n$-поперечникiв класiв, означених за допомогою композицiй Адамара, узагальнених $K$-функцiоналiв та мажорант. На зазначених класах функцiй також знайдено точнi значення верхнiх меж модулiв коефiцiєнтiв Тейлора.

Посилання

I. Berg, J. Lefstrem, Interpolyacionnye prostranstva, Mir, Moskva (1980).

R. A. DeVore, G. G. Lorentz, Constructive approximation, Springer-Verlag, New York (1993). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-02888-9

YU. V. Kryakin, Priblizhenie funkcij na edinichnoj okruzhnosti v prostranstvah $L_p$ i $H_p$ , Avtoref. dis. kand. fiz.-mat. nauk., Odessa(1985).

P. Oswald, On some approximation properties of real Hardy space $(0 < p ⩽ 1)$, J. Approx. Theory, 40, № 1, 45 – 65 (1984), https://doi.org/10.1016/0021-9045(84)90134-5 DOI: https://doi.org/10.1016/0021-9045(84)90134-5

G. V. Radzievskii, On the best approximations and rate of convergence of decompositions in the root vectors of an operator, Ukr. Math. J., 49, № 6, 844 – 864 (1997), https://doi.org/10.1007/BF02513425 DOI: https://doi.org/10.1007/BF02513425

S. B. Vakarchuk, $K$-functionals and exact values of n-widths of some classes in $L_2$, Math. Notes, 66, № 4, 404 – 408 (1999), https://doi.org/10.1007/BF02679087 DOI: https://doi.org/10.1007/BF02679087

S. B. Vakarchuk, O tochnyh znacheniyah $n$-poperechnikov funkcional'nyh klassov v banahovyh prostranstvah $H_p$ , Dop. NAN Ukrainy,№ 9, 7 – 10 (2000).

S. B. Vakarchuk, $K$-Functionals and exact values of n-widths of certain classes in the spaces $C(2 π)$ and $L_1(2 π )$, Math. Notes, 71, № 4, 477 – 485 (2002), https://doi.org/10.1023/A:1014823613463 DOI: https://doi.org/10.1023/A:1014823613463

S. B. Vakarchuk, $K$-functionals and n-widths of classes of periodic functions of two variables, East J. Approx., 8, № 2, 161 – 182 (2002).

S. B. Vakarchuk, A. V. Shvachko, On the best approximation in the mean by algebraic polynomials with weight and the exact values of widths for the classes of functions, Ukr. Math. J., 65, № 12, 1774 – 1792 (2014), https://doi.org/10.1007/s11253-014-0897-8 DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-014-0897-8

S. B. Vakarchuk, Mean approximation of functions on the real axis by algebraic polynomials with Chebyshev – Hermite weight and widths of function classes, Math. Notes, 95, № 5, 599 – 614 (2014), https://doi.org/10.1134/S0001434614050046 DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434614050046

S. B. Vakarchuk, Meansquare approximation of function classes, given on the all real axis $R$ by the entere functions of exponential type, Intern. J. Adv. Res. Math., 6, 1 – 12 (2016),

https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/IJARM.6.1 DOI: https://doi.org/10.18052/www.scipress.com/IJARM.6.1

M. Saidusajnov, $K$-funkcionaly i tochnye znacheniya n-poperechnikov v prostranstve Bergmana, Ural. mat. zhurn.,3, № 2, 74 – 81 (2017).

M. Sh. Shabozov, O. A. Dzhurakhonov, Upper bounds for approximation of some classes of bivariate functions by triangular Fourier – Hermite sums in the space $L_{2, ρ}(R^2)$, Anal. Math., 45, № 4, 823 – 840 (2019), https://doi.org/10.1007/s10476-019-0010-5 DOI: https://doi.org/10.1007/s10476-019-0010-5

V. M. Tihomirov, Poperechniki mnozhestv v funkcional'nyh prostranstvah i teoriya nailuchshih priblizhenij, Uspekhi mat. nauk, 15, № 3, 81 – 120 (1960).

L. V. Tajkov, O nailuchshem priblizhenii v srednem nekotoryh klassov analiticheskih funkcij, Mat. zametki,1, № 2, 155 – 162 (1967).

L. V. Tajkov, Poperechniki nekotoryh klassov analiticheskih funkcij, Mat. zametki,22, № 2, 285 – 295 (1977).

N. Ajnulloev, L. V. Tajkov, Nailuchshee priblizhenie v smysle Kolmogorova klassov analiticheskih v edinichnom kruge funkcij, Mat. zametki,40, № 3, 341 – 351 (1986).

M. Z. Dvejrin, Zadachi nailuchshego priblizheniya klassov funkcij, analiticheskih v edinichnom kruge, Teoriya priblizheniya funkcij, Tr. Mezhdunar. konf. po teorii priblizhenij, Nauka, Moskva с. 129 – 132 (1977).

M. Z. Dvejrin, I. V. CHebanenko, O polinomial'noj approksimacii v banahovyh prostranstvah analiticheskih funkcij, Teoriya otobrazhenij i priblizhenie funkcij, Sb. nauchn. tr. In-ta prikl. matematiki i mekhaniki AN USSR, Nauk. dumka, Kiev 62 – 73 (1983).

YU. A. Farkov, Poperechniki klassov Hardi i Bergmana v share $C^n$, Uspekhi mat. nauk, 45, № 5, 197 – 198 (1990).

S. B. Vakarchuk, On the best linear approximation methods and the widths of certain classes of analytic functions, Math. Notes, 65, № 2, 153 – 158 (1999), https://doi.org/10.1007/BF02679811

S. B. Vakarchuk, Exact values of widths of classes of analytic functions on the disk and best linear approximation methods, Math. Notes, 72, № 5, 615 – 619, https://doi.org/10.1007/BF02679811 DOI: https://doi.org/10.1007/BF02679811

S. B. Vakarchuk, On some extremal problems of approximation theory in the complex plane, Ukr. Math. J., 56, № 9, 1371 – 1390 (2004), https://doi.org/10.1007/s11253-005-0122-x DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-005-0122-x

S. B. Vakarchuk, V. I. Zabutnaya, Best linear approximation methods for functions of Taikov classes in the Hardy spaces $H_{q, ρ}, q ⩽ 1, 0 < ρ ⩽ 1$, Math. Notes, 85, № 3, 322 – 327 (2009), https://doi.org/10.1134/S000143460903002X DOI: https://doi.org/10.1134/S000143460903002X

V. V. Savchuk, Best linear methods for the approximation of functions of the Bergman class by algebraic polynomials, Ukr. Math. J., 58, № 12, 1904 – 1915 (2006), https://doi.org/10.1007/s11253-006-0175-5 DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-006-0175-5

V. V. Savchuk , Best linear methods of approximation and optimal orthonormal systems of the Hardy space, Ukr. Math. J., 60, № 5, 730 – 743 (2008), https://doi.org/10.1007/s11253-008-0091-y DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-008-0091-y

S. B. Vakarchuk, M. Sh. Shabozov, The widths of classes of analytic functions in a disc, Sb. Math., 201, № 8, 1091 – 1110 (2010), https://doi.org/10.1070/SM2010v201n08ABEH004104 DOI: https://doi.org/10.1070/SM2010v201n08ABEH004104

M. SH. SHabozov, SH. A. Holmamadova, O poperechnikah nekotoryh klassov analiticheskih v kruge funkcij, Izv. Tul. gos. un-ta. Estestven. nauki, № 3, 48 – 59 (2012).

M. Sh. Shabozov, G. A.Yusupov, Best approximation methods and widths for some classes of functions in $H_{q, ρ}, 1 ⩽ q ⩽ ∞, < ρ ⩽ 1$, Sib. Math. J., 57, № 2, 369 – 376 (2016), https://doi.org/10.17377/smzh.2016.57.219

S. B. Vakarchuk, Estimates of the values of $n$-widths of classes of analytic functions in the weight spaces $H_{2, γ}(D)$, Math. Notes, 108, № 6, 775 – 790 (2020). DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434620110218

P. L. Duren, B. W. Romberg, F. L. Shields, Linear functionals in Hp spaces with $0 < p < 1$, J. reine und angew. Math., 238, 4 – 60 (1969). DOI: https://doi.org/10.1515/crll.1969.238.32

M. I. Gvaradze, Ob odnom klasse prostranstv analiticheskih funkcij, Mat. zametki,21, № 2, 141 – 150 (1977).

M. I. Gvaradze, Ob odnom klasse prostranstv analiticheskih funkcij, Dis. ... kand. fiz.-mat. nauk, Tbilisi (1975).

С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев, Интегралы и производные дробного порядка и их приложения, Наука и техника, Минск (1987).

J. T. Scheik, Polynomial approximation of functions analytic in a disk, Proc. Amer. Math. Soc., 17, № 6, 1238 – 1243 (1966), https://doi.org/10.2307/2035717 DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1966-0206303-8

A. Zigmund, Trigonometricheskie ryady, t. 1, Mir, Moskva(1965).

S. B. Vakarchuk, Diameters of certain classes of functions analytic in the unit disc. I, Ukr. Math. J., 42, № 7, 769 – 778 (1990), https://doi.org/10.1007/BF01062078 DOI: https://doi.org/10.1007/BF01062078

N. P. Kornejchuk, Ekstremal'nye zadachi teorii priblizheniya, Nauka, Moskva (1976).

V. N. Nikol'skij, Rasprostranenie teoremy A. N. Kolmogorova na banahovy prostranstva funkcij, Issledovaniya po sovremennym problemam konstruktivnoj teorii funkcij, Fizmatgiz, Moskva, 335 – 337 (1961).