Експоненціально збіжний метод наближення для рівняння з дробовою похідною і необмеженим операторним коефіцієнтом в банаховому просторі

В. Б.  Василик; I. П.  Гаврилюк; В. Л.  Макаров

doi:10.37863/umzh.v74i2.6984

В. Б. Василик Iн-т математики НАН України, Київ
I. П. Гаврилюк Унiверситет дуальної освiти Гера-Айзенах, Нiмеччина
В. Л. Макаров Iн-т математики НАН України, Київ

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v74i2.6984

Ключові слова: абстрактне рівняння з дробовою похідною в часі, необмежений операторний коефіцієнт, інтеграл Данфорда-Коші, експоненціальна точність

Анотація

УДК 519.62, 519.63
Запропоновано та проаналiзовано експоненцiально збiжний наближений метод розв’язування диференцiального рiвняння з правосторонньою дробовою похiдною Рiмана – Лiувiлля i необмеженим операторним коефiцiєнтом у банаховому просторi. Застосовано зображення розв’язку за допомогою iнтеграла Данфорда – Кошi по гiперболi, що охоплює спектр операторного коефiцiєнта, з подальшим застосуванням експоненцiально збiжної квадратурної формули. Для цього вибрано параметри гiперболи таким чином, щоб пiдiнтегральна функцiя мала аналiтичне продовження в смугу навколо дiйсної осi, а потiм застосовано Sinc-квадратуру. Показано експоненцiальну точнiсть методу i наведено числовi розрахунки тестового прикладу, що пiдтверджують апрiорну оцiнку.

Посилання

B. Jin, R. Lazarov, Z. Zhou, An analysis of the $L_1£$ scheme for the subdiffusion equation with nonsmooth data, IMA J. Numer. Anal., 36, № 1, 197 – 221 (2016), https://doi.org/10.1093/imanum/dru063

A. Ashyralyev, A note on fractional derivatives and fractional powers of operators, J. Math. Anal. and Appl., 357, № 1, 232 – 236 (2009), https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2009.04.012

I. P. Gavrilyuk, An algorithmic representation of fractional powers of positive operators, Numer. Funct. Anal. and Optim., 17, № 3 – 4, 293 – 305 (1996), https://doi.org/10.1080/01630569608816695

William McLean, Vidar Thom´ee, Numerical solution via Laplace transforms of a fractional order evolution equation, J. Integral Equat. and Appl., 22, № 1, 57 – 94 (2010), https://doi.org/10.1216/JIE-2010-22-1-57

I. Gavrilyuk, V. Makarov, V. Vasylyk, Exponentially convergent algorithms for abstract differential equations, Front. Math., Birkh¨auser/Springer, Basel AG, Basel (2011), https://doi.org/10.1007/978-3-0348-0119-5

I. P. Gavrilyuk, W. Hackbusch, B. N. Khoromskij, Hierarchical tensor-product approximation to the inverse and related operators for high-dimensional elliptic problems, Computing, 74, № 2, 131 – 157 (2005), https://doi.org/10.1007/s00607-004-0086-y

I. P. Gavrilyuk, V. L. Makarov, D. O. Sytnyk, V. B. Vasylyk, Exponentially convergent method for the m-point nonlocal problem for a first order differential equation in Banach space, Numer. Funct. Anal. and Optim., 31, № 1 – 3, 1 – 21 (2010), https://doi.org/10.1080/01630560903499019

V. B. Vasylyk, V. L. Makarov, Exponentially Convergent Method for the First-Order Differential Equation in a Banach Space with Integral Nonlocal Condition, Ukr. Mat. Zh., 66, № 8, 1029 – 1040 (2015).

V. B. Vasylyk, V. L. Makarov, D. O. Sytnyk, Eksponentsialno zbizhnyi metod dlia dyferentsialnoho rivniannia pershoho poriadku v banakhovomu prostori z neobmezhenym operatorom u nelokalnii umovi, Pratsi In-tu matematyky NAN Ukrainy, 12, № 5, 32 – 45 (2015).

D. Sytnyk, Parallel numerical method for nonlocal-in-time schr¨odinger equation, J. Coupled Systems and Multiscale Dynamics, № 2 – 4, 204 – 211 (2017).

V. L. Makarov, I. P. Gavrilyuk, V. B. Vasylyk, Eksponentsialno zbizhnyi metod dlia rozviazuvannia abstraktnoho intehro-dyferentsialnoho rivniannia z drobovym intehralom Khardi – Titchmarsha, Dop. NAN Ukrainy, № 1, 3 – 8 (2021).

G. H. Hardy, E.C. Titchmarsh, An integral equation, Proc. Cambridge Philosophical Soc., 28, № 2, 165 – 173 (1932).

F. Stenger, Numerical methods based on sinc and analytic functions, Springer Ser. Comput. Math., Springer-Verlag, New York (1993), https://doi.org/10.1007/978-1-4612-2706-9