Про ортогональність часткових сум узагальнених гіпергеометричних рядів

С. М. Загороднюк

doi:10.37863/umzh.v74i1.6989

С. М. Загороднюк Харкiв. нац. ун-т iм. В. Н. Каразiна https://orcid.org/0000-0002-1063-1776

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v74i1.6989

Ключові слова: Sobolev orthogonal polynomials, generalized hypergeometric function, biorthogonal rational functions, differential equation, recurrence relation

Анотація

УДК 517.587

Виявилося, що часткові суми
$g_n(z)=\displaystyle\sum\nolimits_{k=0}^n
\dfrac{(a_1)_k\ldots(a_p)_k}{(b_1)_k\ldots(b_q)_k}\,
\dfrac{z^k}{k!}$ узагальненого гіпергеометричного ряду ${}_p F_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z)$ з параметрами
$a_j,b_l\in\mathbb{C}\backslash\{0,-1,-2,\ldots\}$ є соболєвськими ортогональними многочленами.
Відповідні поліноми з одиничним старшим коефіцієнтом $G_n(z)$ є поліномами $R_I$-типу, а отже, пов'язані з біортогональними раціональними функціями.
Поліноми $g_n$ задовольняють диференціальне рівняння (щодо $z$) та рекурентне співвідношення (щодо $n$).
У статті вивчаються інтегральні зображення для $g_n$ та деякі їхні властивості.
Часткові суми будь-якого степеневого ряду з ненульовими коефіцієнтами також пов'язані з біортогональними раціональними функціями.
Встановлено зв'язок поліномів $g_n(z)$ зі жмутками якобієвого типу та асоційованими з ними поліномами.

Посилання

L. C. Andrews, Special functions of mathematics for engineers, Oxford Univ. Press, Oxford (1998).

E. Hendriksen, H. van Rossum, Orthogonal Laurent polynomials, Nederl. Akad. Wetensch. Indag. Math., 48, № 1, 17 – 36 (1986). DOI: https://doi.org/10.1016/1385-7258(86)90003-X

E. Horozov, $d$-orthogonal analogs of classical orthogonal polynomials, SIGMA Symmetry Integrability and Geom. Methods and Appl., 14, Articll 063 (2018), 27 p., https://doi.org/10.3842/SIGMA.2018.063 DOI: https://doi.org/10.3842/SIGMA.2018.063

E. Horozov, Vector orthogonal polynomials with Bochner’s property, Constr. Approx., 48, № 2, 201 – 234 (2018), https://doi.org/10.1007/s00365-017-9410-6 DOI: https://doi.org/10.1007/s00365-017-9410-6

M. E. H. Ismail, Classical and quantum orthogonal polynomials in one variable, Encyclopedia Math. and Appl., 98, Cambridge Univ. Press, Cambridge (2005), https://doi.org/10.1017/CBO9781107325982 DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9781107325982

M. E. H. Ismail, D. R. Masson, Generalized orthogonality and continued fractions, J. Approx. Theory, 83, № 1, 1 – 40 (1995), https://doi.org/10.1006/jath.1995.1106 DOI: https://doi.org/10.1006/jath.1995.1106

F. Marcell´an, Yuan Xu, On Sobolev orthogonal polynomials, Expo. Math., 33, № 3, 308 – 352 (2015), https://doi.org/10.1016/j.exmath.2014.10.002 DOI: https://doi.org/10.1016/j.exmath.2014.10.002

M. Marden, Geometry of polynomials, Second ed., Math. Surveys and Monogr., № 3, Amer. Math. Soc., Providence, R.I. (1966).

E. D. Rainville, Special functions, First ed., Chelsea Publ. Co., Bronx, N.Y. (1971).

B. Simon, Orthogonal polynomials on the unit circle. Pt 1. Classical theory, Colloq. Publ., 54, Amer. Math. Soc., Providence, R.I. (2005), https://doi.org/10.1090/coll054.1 DOI: https://doi.org/10.1090/coll054.1

B. Simon, Orthogonal polynomials on the unit circle. Pt 2. Spectral theory, Colloq. Publ., 54, Amer. Math. Soc., Providence, R.I. (2005), https://doi.org/10.1090/coll/054.2/01 DOI: https://doi.org/10.1090/coll/054.2

V. Spiridonov, A. Zhedanov, Classical biorthogonal rational functions on elliptic grids, C. R. Math. Acad. Sci. Soc. R. Can., 22, № 2, 70 – 76 (2000).

G. Szeg¨o, Orthogonal polynomials, Fourth ed. Colloq. Publ., 23, Amer. Math. Soc., Providence, R.I. (1975).

S. M. Zagorodnyuk, Ortogonal`nye mnogochleny, assocy`y`rovannye s nekotorymy` puchkamy` yakoby`evogo ty`pa, Ukr. mat. zhurn., 68, № 9, 1180 – 1190 (2016).

S. M. Zagorodnyuk, On some classical type Sobolev orthogonal polynomials, J. Approx. Theory, 250, Article 105337 (2020), 14 p., https://doi.org/10.1016/j.jat.2019.105337 DOI: https://doi.org/10.1016/j.jat.2019.105337

S. M. Zagorodnyuk, On a family of hypergeometric Sobolev orthogonal polynomials on the unit circle, Constr. Math. Anal., 3, № 2, 84 – 75 (2020), https://doi.org/10.33205/cma.690236 DOI: https://doi.org/10.33205/cma.690236

S. M. Zagorodnyuk, On series of orthogonal polynomials and systems of classical type polynomials, Укр. мат. журн., 73, № 6, 799 – 810 (2021), https://doi.org/10.37863/umzh.v73i6.6527 DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-021-01968-1

A. Zhedanov, The ”classical” Laurent biorthogonal polynomials, J. Comput. and Appl. Math., 98, № 1, 121 – 147 (1998), https://doi.org/10.1016/S0377-0427(98)00118-6 DOI: https://doi.org/10.1016/S0377-0427(98)00118-6