Симетрія Лі–Беклунда, редукція і розв’язки нелінійних еволюційних рівнянь

В.  Жешут; I. М. Цифра; В. А.  Владiмiров

doi:10.37863/umzh.v74i3.7007

В. Жешут Ун-т науки i технiки AGH, фак. прикл. математики, Кракiв, Польща
I. М. Цифра Ун-т науки i технiки AGH, фак. прикл. математики, Кракiв, Польща; Iн-т геофiзики iм. С. I. Субботiна НАН України, Київ, Україна
В. А. Владiмiров Ун-т науки i технiки AGH, фак. прикл. математики, Кракiв, Польща

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v74i3.7007

Ключові слова: оператори симетрії Лі-Беклунда, звичайні диференціальні рівняння, рівняння з частинними похідними, редукція, інваріантні розвязки

Анотація

УДК 517.9

Вивчається симетрійна редукція нелінійних рівнянь, що використовуються для опису дифузійних процесів в неоднорідних середовищах. Знаходяться анзаци, які редукують рівняння з частинними похідними до системи звичайних диференціальних рівнянь. Ці анзаци будуються з використанням операторів Лі–Беклунда симетрії звичайних диференціальних рівнянь третього порядку. Метод дає можливість знайти розв'язки, які не можна отримати класичним методом С. Лі. Такі розв'язки знайдено для нелінійних дифузійних рівнянь, які є інваріантними відносно однопараметричної, двопараметричної і трипараметричної групи Лі точкових перетворень.

Посилання

P. Olver, Applications of Lie Groups to Differential Equations, 2nd ed., Springer-Verlag, New York (1993), https://doi.org/10.1007/978-1-4612-4350-2

G. Bluman, J. D. Cole, The general similarity solution of the heat equation, J. Math. Mech., 18, № 11, 1025 – 1042 (1969).

P. J. Olver, P. Rosenau, The construction of special solutions to partial differential equations, Phys. Lett. A, 114, № 3, 107 – 112 (1986), https://doi.org/10.1016/0375-9601(86)90534-7

P. J. Olver, P. Rosenau, Group-invariant solutions of differential equations, SIAM J. Appl. Math., 47, № 2, 263 – 278 (1987), https://doi.org/10.1137/0147018

W. I. Fushchych, I. M. Tsyfra, On a reduction and solutions of nonlinear wave equations with broken symmetry, J. Phys. A., 20, № 2, L45 – L48 (1987), http://stacks.iop.org/0305-4470/20/L45

A. S. Fokas, Q. M. Liu, Nonlinear interaction of traveling waves of non-integrable equations, Phys. Rev. Letters, 72, № 21, 3293 – 3296 (1994), https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.72.3293

R. Z. Zhdanov, Conditional Lie-Backlund symmetry and reduction of evolution equations , J. Phys. A: Math. Gen., 28, 3841 – 3850 (1995), http://stacks.iop.org/0305-4470/28/3841

C. Z. Qu, Exact solutions to nonlinear diffusion equations obtained by a generalized conditional symmetry method, IMA J. Appl. Math., 62, № 3, 283 – 302 (1999), https://doi.org/10.1093/imamat/62.3.283

S. R. Svirshchevskii, Lie-Backlund symmetries of linear ODEs and generalized separation of variables in nonlinear equations, Phys. Lett. A, 199, № 5-6, 344 – 349 (1995), https://doi.org/10.1016/0375-9601(95)00136-Q

I. M. Tsyfra, Symmetry reduction of nonlinear differential equations, Proc. Ins. Math., Kiev,50, 266 – 270 (2004).

M. Kunzinger, R. O. Popovych, Generalized conditional symmetry of evolution equations, J. Math. Anal. Appl., 379, № 1, 444 – 460 (2011), https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2011.01.027

I. M. Tsyfra, Conditional symmetry reduction and invariant solutions of nonlinear wave equations, Proc. Ins. Math., 43, 229 – 233 (2002).

I. M. Tsyfra, W. Rzeszut, Lie-Backlund symmetry reduction of nonlinear and non-evolution equations, Proc. Ins. Math., 16, № 1, 174 – 180 (2019).

I. Tsyfra, T. Czyżycki, Nonpoint symmetry and reduction of nonlinear evolution and wave type equations, Abstract and Applied Anal., 2015, Article ID 181275 (2015), https://doi.org/10.1155/2015/181275