General local cohomology modules in view of low points and high points

Анотація

УДК 512.5

Загальні локальні когомологічні модулі з точки зору низьких і високих точок 

Нехай $R$ —комутативне нетерове кільце, $\Phi $ — система ідеалів для $R,$ $M$ — скінченнопороджений $R$-модуль, а $t$ — невід’ємне ціле число. Спочатку показано, що загальний локальний когомологічний модуль $H_{\Phi}^{i}(M)$ є скінченно-породженим $R$-модулем для всіх $i<t$ тоді й лише тоді, коли $\mathrm{Ass}_{ R} (H_{\Phi}^{i}(M))$ є скінченною множиною, а $H_{\Phi_{\mathfrak{p}}}^{i}(M_{\mathfrak{p}})$ — скінченнопородженим $R_{\mathfrak{p}}$-модулем для всіх $i<t$ і всіх $\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}(R)$. Далі, як наслідок, доведено, що якщо $(R,\mathfrak{m})$ є повним локальним кільцем, $\Phi$ — зліченним, а $n\in \mathbb{N}_{0}$ — таким, що $\big(\mathrm{Ass}_{R} \big(H_{\Phi}^{h_{\Phi}^{n}(M)}(M)\big)\big)_{\geq n}$ є скінченною множиною, то $f_{\Phi}^{n}(M)=h_{\Phi}^{n}(M)$.

Крім того, показано, що властивості спадання і скінченності загальних локальних когомологічних модулів еквівалентні у високих точках над довільним нетеровим (необов’язково локальним) кільцем.

Для кожного коваріантного $R$-лінійного функтора $T$ з $\Mod(R)$ в  себе, який має глобальну властивість спадання на $\Mod(R),$ і для довільної підкатегорії Серра $\mathcal{S}$ і $t\in \mathbb{N}$ доведено, що $\mathcal{R}^{i}T(R)\in \mathcal{S}$ для всіх $i\geq t$ тоді й лише тоді, коли $\mathcal{R}^{i}T(M)\in \mathcal{S}$ для будь-якого скінченнопородженого $R$-модуля $M$ і всіх $i\geq t$.

Отримано деякі результати щодо загальних локальних когомологічних модулів.