No Jackson-type estimates for piecewise $q$ -monotone, $q ≥ 3$, trigonometric approximation
Анотація
УДК 517.5
Неможливi оцiнки типу Джексона для кусково $q$ -монотонної, $q \ge 3$, тригонометричної апроксимацiї
Кажуть, що функція $f\in C[a,b]$ є $q$-монотонною, $q\geq 2,$ якщо вона має $(q-2)$-ту неперервну похідну в $(a,b)$ і $f^{(q-2)}$ там опукла. Нехай $f$ ? неперервна $2\pi$-періодична функція, яка змінює свою $q$-монотонність скінченне число разів на $[-\pi,\pi].$ Нас цікавлять оцінки порядку наближення функції $f$ тригонометричними поліномами, які змінюють свою $q$-монотонність саме в тих точках, де і $f.$ Такі оцінки типу Джексона справедливі для кусково-монотонного $(q=1)$ та кусково-опуклого $(q=2)$ наближень. Однак ми доводимо, що жодна з таких оцінок не є можливою, взагалі кажучи, у ко-$q$-монотонній апроксимації, якщо $q\geq 3.$
Посилання
V. K. Dzyadyk, I. A. Shevchuk, Theory of uniform approximation of functions by polynomials, Walter de Gruyer, Berlin, New York (2008), https://doi.org/10.1515/9783110208245 DOI: https://doi.org/10.1515/9783110208245
G. A. Dzyubenko, Comonotone approximation of twice differentiable periodic functions, Ukr. Math. J., 61, № 4, 519 – 540 (2009), https://doi.org/10.1007/s11253-009-0235-8 DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-009-0235-8
D. Leviatan, I. A. Shevchuk, Jackson type estimates for piecewise $q$-monotone approximation, $q geq 3$, are not valid, Pure and Appl. Funct. Anal., 1, 85 – 96 (2016).
G. G. Lorentz, K. L. Zeller, Degree of approximation by monotone polynomials I, J. Approx. Theory, 1, 501 – 504 (1968), https://doi.org/10.1016/0021-9045(68)90039-7 DOI: https://doi.org/10.1016/0021-9045(68)90039-7
M. G. Pleshakov, Comonotone Jacksons inequality, J. Approx. Theory, 99, 409 – 421 (1999), https://doi.org/10.1006/jath.1999.3327 DOI: https://doi.org/10.1006/jath.1999.3327
P. A. Popov, An analog of the Jackson inequality for coconvex approximation of periodic functions, Ukr. Math. J., 53, № 7, 1093 – 1105 (2001), https://doi.org/10.1023/A:1013325131321 DOI: https://doi.org/10.1023/A:1013325131321
A. A. Privalov, Theory of interpolation of functions, Book 1, Saratov Univ. Publ. House, Saratov (1990) (in Russian).
R. S. Varga, A. J. Carpenter, On the Bernstein conjecture in approximation theory, Constr. Approx., 1, 333 – 348 (1985), https://doi.org/10.1007/BF01890040 DOI: https://doi.org/10.1007/BF01890040
V. D. Zalizko, Coconvex approximation of periodic functions, Ukr. Math. J., 59, № 1, 28 – 44 (2007), https://doi.org/10.1007/s11253-007-0003-6 DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-007-0003-6
Авторські права (c) 2022 Ігор Олександрович Шевчук
Для цієї роботи діють умови ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.
