Інтерполяційна оцінка копозитивного наближення алгебраїчними поліномами

Г. А.  Дзюбенко

doi:10.37863/umzh.v74i4.7103

Г. А. Дзюбенко Iн-т математики НАН України, Київ

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v74i4.7103

Ключові слова: копозитивне наближення алгебраїчними поліномами, поточкові оцінки

Анотація

УДК 517.9

Якщо неперервна на $[ 1, 1]$ функцiя $f$ змiнює свiй знак у $s$ точках $y_i,$ $-1 < y_{s} < y_{s-1} < \dots< y_1 < 1$, то для кожного $n \in \mathbb{N}$, що бiльше за деяку сталу $\mathbb{N}$, яка залежить тiльки вiд $\min_{i=0, \dots ,s}\{y_i -y_{i+1}\},$ $y_{s+1} := -1,$ $y_0 := 1,$ знайдено алгебраїчний полiном $P_n$ степеня $\le n$ такий, що $P_n$ має на $[ 1, 1]$ той самий знак, що i $f$, зокрема $P_n(y_i) = 0,$ $i = 1,\dots ,s,$ i
$$
|f(x)-P_n(x)|\le c(s)\,\omega_2(f,\sqrt{1-x^2}/n), \quad x\in[-1,1],
$$
де $c(s)$ — стала, яка залежить тiльки вiд $s$, i $\omega_2(f,\cdot)$ — модуль гладкостi 2-го порядку функцiї $f$ . Зауважимо, що в цiй iнтерполяцiйнiй у $\pm 1$ оцiнцi, встановленiй ДеВором для наближення без обмежень, не можна замiнити $\omega_2$ на $\omega_k,$ $k>2,$ навiть для наближення без обмежень.

Посилання

V. K. Dzyadyk, Vvedenie v teoriyu ravnomernogo priblizheniya funkcij polinomami, Nauka, Moskva (1977).

S. A. Telyakovskij, Dve teoremy o priblizhenii funkcij algebraicheskimi mnogochlenami, Mat. sb., 70 (112), № 2, 252 – 265 (1966).

R. A. DeVore, Degree of approximation, Approximation theory, II (Proc. Intern. Sympos., Univ. Texas, Austin, Tex., 1976), eds G. G. Lorentz, C. K. Chui and L. Schumaker, Acad. Press. New York, 117 – 161 (1976).

X. M. Yu, Pointwise estimates for convex polynomial approximation, Approx. Theory and Appl., 1, № 4, 65 – 74 (1985).

H. H. Gonska, D. Leviatan, I. A. Shevchuk, H.-J. Wenz, Interpolatory pointwise estimates for polynomial approximation, Constr. Approx., 16, № 4, 603 – 629 (2000), https://doi.org/10.1007/s003650010008 DOI: https://doi.org/10.1007/s003650010008

K. A. Kopotun, Copositive approximation by algebraic polynomials, Anal. Math., 21, № 4, 269 – 283 (1995)б https://doi.org/10.1007/BF01909150 DOI: https://doi.org/10.1007/BF01909150

Y. Hu, X. M. Yu, The degree of copositive approximation and a computer algorithm, SIAM J. Numer. Anal., 33, № 1, 388 – 398 (1996), https://doi.org/10.1137/0733020 DOI: https://doi.org/10.1137/0733020

Y. Hu, D. Leviatan, X. M. Yu, Copositive polynomial approximation in $C[0, 1]$, J. Anal., 1, 85 – 90 (1993).

S. P. Zhou, A counterexample in copositive approximation, Israel J. Math., 78, № 1, 75 – 83 (1992), https://doi.org/10.1007/BF02801572 DOI: https://doi.org/10.1007/BF02801572

S. P. Zhou, On copositive approximation, Approxim. Theory and Appl., 9, № 2, 104 – 110 (1993).

G. A. Dzyubenko, Comonotone approximation with interpolation at the ends of an interval, Anal. Theory and Appl., 22, № 3, 233 – 245 (2006), https://doi.org/10.1007/s10496-006-0233-8 DOI: https://doi.org/10.1007/s10496-006-0233-8

G. A. Dzyubenko, J. Gilewicz, I. A. Shevchuk, Coconvex pointwise approximation, Ukrainian Math. J., 54, 1200 – 1212 (2002), https://doi.org/10.1023/A:1023411817844 DOI: https://doi.org/10.1023/A:1023411817844

H. Whitney, On Functions with bouded $n$-th differences, J. Math. Pures et Appl. 36, № 9, 67 – 95 (1957).

J. Gilewicz, Yu. V. Kryakin, I. A. Shevchuk, Boundedness by 3 of the Whitney interpolation constant, J. Approx. Theory, 119, 271 – 290 (2002), https://doi.org/10.1006/jath.2002.3732 DOI: https://doi.org/10.1006/jath.2002.3732

A. Marchaud, Sur les dérivées et sur les différences des fonctions de variables réelles. (French), J. Math. Pures et Appl. 6, 337 – 426 (1927).

I. A. Shevchuk, Priblizhenie monotonnyh funkcij monotonnymi mnogochlenami, Mat. sb.,183, № 5, 63 – 78 (1992).

I. A. Shevchuk, Priblizhenie mnogochlenami i sledy nepreryvnyh na otrezke funkcij, Nauk. dumka, Kiev (1992).

G. A. Dzyubenko, J. Gilewicz, I. A. Shevchuk, Piecewise monotone pointwise approximation, Constr. Approx., 14, № 3, 311 – 348 (1998), https://doi.org/10.1007/s003659900077 DOI: https://doi.org/10.1007/s003659900077

K. A. Kopotun, Pointwise and uniform estimates for convex approximation of functions by algebraic polynomials, Constr. Approx., 10, № 2, 153 – 178 (1994), https://doi.org/10.1007/BF01263061 DOI: https://doi.org/10.1007/BF01263061

D. Leviatan, I. A. Shevchuk, Coconvex approximation, J. Approx. Theory, 118, № 1, 20 – 65 (2002), https://doi.org/10.1006/jath.2002.3695 DOI: https://doi.org/10.1006/jath.2002.3695