Нерівність типу Вімана в кратно-кругових областях: ефект Леві і виняткові множини
Анотація
УДК 517.555
Для цілих функцій вигляду $f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n,\ z\in {\mathbb C},$ P. L${\rm \acute{e}}$vy (1929) встановив, що в класичній нерівності Вімана $M_f(r)\leq\mu_f(r)(\ln\mu_f(r))^{1/2+\varepsilon},\
\varepsilon>0,$ що виконується зовні множини скінченної логарифмічної міри, за деяких додаткових припущень регулярності поводження $\ln M_f (r),$ показник $1/2$ майже напевно у деякому ймовірнісному сенсі можна замінити на $1/4$; тут $M_f(r)=\max\{|f(z)|\colon |z|=r\},\ \mu_f(r)=\max\{|a_n|r^n\colon n\geq0\},\ r>0. $ У даній статті ми доводимо, що ефект відкритий P.~L${\rm\acute{e}}$vy справджується також у випадку нерівності типу Вімана для аналітичних функцій в довільній кратно-круговій області, що дає позитивну відповідь на запитання проф. А.А. Гольдберга і проф. М.М. Шеремети (1996) стосовно можливості такого ефекту у цьому випадку.
Раніше позитивну відповідь на це запитання було отримано у випадку нерівності Фентона для цілих функцій від двох змінних (Mat. Stud., 23 (2) (2005)), для цілих функцій від багатьох змінних (Ufa Math. J. 6 (2) (2014)), для аналітичних функцій від багатьох змінних в полікрузі (European Journal of Mathematics 6 (1) (2020)).
Посилання
G. Valiron, Functions analytiques, Press Univ. de France, Paris (1954).
H. Wittich, Neuere Untersuchungen uber eindeutige analytische Funktionen, Springer-Verlag, Berlin etc. (1955). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-12575-5
P. C. Rosenbloom, Probability and entire functions, Stud. Math. Anal. and Relat. Top., Calif. Univ. Press, Stanford (1962), p. 325 – 332.
O. B. Skaskiv, P. V. Filevych, On the size of an exceptional set in the Wiman theorem, Mat. Stud., 12, № 1, 31 – 36 (1999) (in Ukrainian).
O. B. Skaskiv, O. V. Zrum, On an exeptional set in the Wiman inequalities for entire functions, Mat. Stud., 21, № 1, 13 – 24 (2004) (in Ukrainian).
A. O. Kuryliak, O. B. Skaskiv, Wiman’s type inequality for analytic and entire functions and $h$-measure of an exceptional sets, Carpathian Math. Publ., 12, № 2, 492 – 498 (2020), https://doi.org/10.15330/cmp.12.2.492-498 DOI: https://doi.org/10.15330/cmp.12.2.492-498
P. Levy, Sur la croissance de fonctions entie`re, Bull. Soc. Math. France, 58, 29 – 59, 127 – 149 (1930). DOI: https://doi.org/10.24033/bsmf.1162
W. Bergweiler, On meromorphic function that share three values and on the exceptional set in Wiman – Valiron theory, Kodai Math. J., 13, № 1, 1 – 9 (1990); https://doi.org/10.2996/kmj/1138039154. DOI: https://doi.org/10.2996/kmj/1138039154
T. M. Salo, O. B. Skaskiv, O. M. Trakalo, On the best possible description of exeptional set in Wiman – Valiron theory for entire function, Mat. Stud., 16, № 2, 131 – 140 (2001).
O. B. Skaskiv, O. M. Trakalo, On exeptional set in Borel relation for multiple entire Dirichlet series, Mat. Stud., 15, № 2, 163 – 172 (2001) (in Ukrainian).
P. V. Filevych, An exact estimate for the measure of the exceptional set in the Borel relation for entire functions, Ukr. Math. J., 53, № 2, 328 – 332 (2001); https://doi.org/10.1023/A:1010489609188 DOI: https://doi.org/10.1023/A:1010489609188
O. B. Skaskiv, O. M. Trakalo, Sharp estimate of exceptional set in Borel’s relation for entire functions of several complex variables, Mat. Stud., 18, № 1, 53 – 56 (2002) (in Ukrainian).
O. B. Skaskiv, D. Yu. Zikrach, On the best possible description of an exceptional set in asymptotic estimates for Laplace – Stieltjes integrals, Mat. Stud., 35, № 2, 131 – 141 (2011).
T. M. Salo, O. B. Skaskiv, Minimum modulus of lacunary power series and h-measure of exceptional sets, Ufa Math. J., 9, № 4, 135 – 144 (2017); https://doi.org/10.13108/2017-9-4-135. DOI: https://doi.org/10.13108/2017-9-4-135
A. O. Kuryliak, O. B. Skaskiv, Wiman’s type inequality in multiple-circular domain, Axioms, 2021, № 10(4), Article ID: 348 (2021); https://doi.org/10.3390/axioms10040348. DOI: https://doi.org/10.3390/axioms10040348
T. Kovari, On the maximum modulus and maximal term of functions analytic in the unit disc, J. London Math. Soc., 41, 129 – 137 (1966); https://doi.org/10.1112/jlms/s1-41.1.129. DOI: https://doi.org/10.1112/jlms/s1-41.1.129
N. V. Suleymanov, An estimate of the Wiman – Valiron type for power series with a finite radius of convergence and its sharpness, Dokl. Akad. Nauk USSR, 253, № 4, 822 – 824 (1980) (in Russian).
P. Erdős, A. Rényi, On random entire function, Zastosowania mat., 10, 47 – 55 (1969). DOI: https://doi.org/10.4064/am-10-1-47-55
J. M. Steele, Sharper Wiman inequality for entire functions with rapidly oscillating coefficients, J. Math. Anal. and Appl., 123, 550 – 558 (1987), https://doi.org/10.1016/0022-247X(87)90329-5 DOI: https://doi.org/10.1016/0022-247X(87)90329-5
P. V. Filevych, Some classes of entire functions in which the Wiman – Valiron inequality can be almost certainly improved, Mat. Stud., 6, 59 – 66 (1996) (in Ukrainian).
P. V. Filevych, The Baire categories and Wiman’s inequality for entire functions, Mat. Stud., 20, № 2, 215 – 221 (2003).
O. B. Skaskiv, Random gap power series and Wiman’s inequality, Mat. Stud., 30, № 1, 101 – 106 (2008) (in Ukrainian).
O. B. Skaskiv, A. O. Kuryliak, Direct analogues of Wiman’s inequality for analytic functions in the unit disk, Carpathian Math. Publ., 2, № 1, 109 – 118 (2010) (in Ukrainian).
A. O. Kuryliak, O. B. Skaskiv, I. E. Chyzhykov, Baire categories and Wiman’s inequality for analytic functions, Bull. Soc. Sci. Lett. Lodz, 62, № 3, 17 – 33 (2012).
O. V. Zrum, O. B. Skaskiv, On Wiman’s inequality for random entire functions of two variables, Mat. Stud., 23, № 2, 149 – 160 (2005) (in Ukrainian).
P. C. Fenton, Wiman – Valiron theory in two variables, Trans. Amer. Math. Soc., 347, № 11, 4403 – 4412 (1995), https://doi.org/10.2307/2155043 DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1995-1308010-X
A. O. Kuryliak, O. B. Skaskiv, O. V. Zrum, Levy’s phenomenon for entire functions of several variables, Ufa Math. J., 6, № 2, 118 – 127 (2014), https://doi.org/10.13108/2014-6-2-111 DOI: https://doi.org/10.13108/2014-6-2-111
J. Gopala Krishna, I. H. Nagaraja Rao, Generalised inverse and probability techniques and some fundamental growth theorems in ${bf C}sp{k}$, J. Indian Math. Soc., 41, 203 – 219 (1977).
A. Schumitzky, Wiman – Valiron theory for functions of several complex variables, Ph. D. Dissertation, Ithaca, Cornell Univ. (1965).
A. Schumitzky, A probabilistic approach to the Wiman – Valiron theory for entire functions of several complex variables, Complex Variables, 13, 85 – 98 (1989), https://doi.org/10.1080/17476938908814380 DOI: https://doi.org/10.1080/17476938908814380
A. O. Kuryliak, O. B. Skaskiv, Wiman’s type inequalities without exceptional sets for random entire functions of several variables, Mat. Stud., 38, № 1, 35 – 50 (2012).
I. F. Bitlyan, A. A. Goldberg, Wiman – Valiron’s theorem for entire functions of several complex variables, Vestn. Leningrad Univ. Ser. Mat., Mech. and Astron., 2, № 131, 27 – 41 (1959) (in Russian).
O. B. Skaskiv, O. M. Trakalo, On classical Wiman’s inequality for multiple entire Dirichlet series, Mat. Metods and Fys.-Mekh. Polya, 43, № 3, 34 – 39 (2000) (in Ukrainian).
A. O. Kuryliak, S. I. Panchuk, O. B. Skaskiv, Gol’dberg type inequality for entire functions and diagonal maximal term, Mat. Stud. 54, № 2, 135 – 145 (2020); https://doi.org/10.30970/ms.54.2.135-145. DOI: https://doi.org/10.30970/ms.54.2.135-145
A. O. Kuryliak, L. O. Shapovalovska, O. B. Skaskiv, Wiman’s type inequality for analytic functions in the polydisc, Ukr. Math. J., 68, № 1, 78 – 86 (2016), https://doi.org/10.1007/s11253-016-1210-9 DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-016-1210-9
A. Kuryliak, O. Skaskiv, S. Skaskiv, Levy’s phenomenon for analytic functions on a polydisk, Eur. J. Math., 6, № 1, 138 – 152 (2020); https://doi.org/10.1007/s40879-019-00363-2. DOI: https://doi.org/10.1007/s40879-019-00363-2
A. Kuryliak, V. Tsvigun, Wiman’s type inequality for multiple power series in the unbounded cylinder domain, Mat. Stud., 49, № 1, 29 – 51 (2018); https://doi.org/10.15330/ms.49.1.29-51. DOI: https://doi.org/10.15330/ms.49.1.29-51
Авторські права (c) 2022 Andriy Kuryliak
Для цієї роботи діють умови ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.
