Верхня межа для діаметра дерева у квантовій теорії графів

О. П.  Бойко; О. М. Мартинюк; В. М.  Пивоварчик

doi:10.37863/umzh.v74i8.7176

О. П. Бойко Пiвденноукр. нац. пед. ун-т iм. К. Д. Ушинського,Одеса
О. М. Мартинюк Пiвденноукр. нац. пед. ун-т iм. К. Д. Ушинського,Одеса
В. М. Пивоварчик Пiвденноукр. нац. пед. ун-т iм. К. Д. Ушинського,Одеса

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v74i8.7176

Ключові слова: спектральна задача, власне значення, крайова умова Ноймана, умова Кірхгофа, спектр, дерево мана,

Анотація

УДК 519.177

Розглянуто двi спектральнi задачi Штурма – Лiувiлля на рiвносторонньому деревi з умовами неперервностi i Кiрхгофа у внутрiшнiх вершинах та умовами Неймана у висячих вершинах i з умовами Дiрiхле у висячих вершинах вiдповiдно. Спектр кожної з цих задач складається з нескiнченної кiлькостi нормальних (iзольованих фредгольмових) власних значень. Показано, що знаючи асимптотики власних значень, можна оцiнити зверху дiаметр дерева для кожної з цих задач.

Біографічна довідка автора

О. М. Мартинюк, Пiвденноукр. нац. пед. ун-т iм. К. Д. Ушинського,Одеса

Посилання

G. Berkolaiko, P. Kuchment, Introduction to quantum graphs, Amer. Math. Soc., Providence, R.I. (2013), https://doi.org/10.1090/surv/186 DOI: https://doi.org/10.1090/surv/186

F. Barioli, S. Fallat, On two conjectures regarding an inverse eigenvalue problem for acyclic symmetric matrices, Electron. J. Linear Algebra, 11, 41 – 50 (2004), https://doi.org/10.13001/1081-3810.1120 DOI: https://doi.org/10.13001/1081-3810.1120

A. Leal Duarte, C. R. Johnson, On the minimum number of distinct eigenvalues for a symmetric matrix whose graph is a given tree, Math. Inequal. Appl., 5, № 2, 175 – 180 (2002), https://doi.org/10.7153/mia-05-19 DOI: https://doi.org/10.7153/mia-05-19

V. M. Pivovarchik, Pro minimal'nu kil'kist' riznih vlasnih znachen' v zadachi na derevi zi stil't'esivs'kih strun, Ukr. mat. zhurn., 72, № 1, 135 – 141 (2020).

Fan R. K. Chung, Spectral graph theory, Amer. Math. Soc., Providence, R.I. (1997).

C. Cattaneo, The spectrum of the continuous Laplacian on a graph, Monatsh. Math., 124, № 3, 215 – 235 (1997), https://doi.org/10.1007/BF01298245 DOI: https://doi.org/10.1007/BF01298245

P. Exner, A duality between Schrodinger operators on graphs and certain Jacobi matrices, Ann. Inst. H. Poincare A, 66, 359 – 371 (1997).

J. Friedman, J.-P. Tillich, Wave equations for graphs and the edge-based Laplacian, Pacific J. Math., 216, № 2, 229 – 266 (2004), https://doi.org/10.2140/pjm.2004.216.229 DOI: https://doi.org/10.2140/pjm.2004.216.229

R. Carlson, V. Pivovarchik, Spectral asymptotics for quantum graphs with equal edge lengths, J. Phys. A, 41, Article 145202 (2008), https://doi.org/10.1088/1751-8113/41/14/145202 DOI: https://doi.org/10.1088/1751-8113/41/14/145202

A. Chernyshenko, V. Pivovarchik, Recovering the shape of a quantum graph, Int. Equat. Oper. Theory, 92, Article 23 (2020), https://doi.org/10.1007/s00020-020-02581-w DOI: https://doi.org/10.1007/s00020-020-02581-w

A. Chernyshenko, V. Pivovarchik, Cospectral graphs (2022); arXiv:2112.14235 [math-ph] 23 Mar 22.

M. Moller, V. Pivovarchik, Direct and inverse finite-dimensional spectral problems on graphs/, Operator Theory: Adv. and Appl., 283, Birkhauser/Springer (2020); https://www.springer.com/gp/book/9783030604837 DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-60484-4

YU. V. Pokornyj, O. M. Penkin, V. L. Pryadiev, A. V. Borovskih, K. P. Lazarev, S. A. SHabrov, Differencial'nye uravneniya na geometricheskih grafah, Fizmatlit, Moskva (2005).

M.-E. Pistol, Generating isospectral but not isomorphic quantum graphs; arXiv: 2104.12885 [math. SP] 19 Sep 21.

V. Pivovarchik, On multiplicities of eigenvalues of a boundary value problem on a snowflake graph, Linear Algebra, Appl., 571, 78 – 91 (2019), https://doi.org/10.1016/j.laa.2019.02.012 DOI: https://doi.org/10.1016/j.laa.2019.02.012