Determination of some properties of starlike and close-to-convex functions according to subordinate conditions with convexity of a certain analytic function

Анотація

УДК 517.5

Визначення деяких властивостей зіркоподібних i близьких до опуклих функцій за підпорядкованими умовами з опуклістю певної аналітичної функції

Дослідження з теорії комплексних функцій є одним із найцікавіших аспектів теорії комплексних аналітичних функцій однієї змінної.  Вони мають величезний вплив на всі області математики.  Багато математичних понять пояснюються з точки зору теорії комплексних функцій.  Нехай $f(z)\in A,$ $f(z)=z+\sum_{n\geq 2}^{\infty }a_{n}z^{n},$ –  аналітична функція на відкритому одиничному диску $U=\left\{z\colon |z|<1,\ z\in \mathbb{C}\right\}$, що нормована таким чином: $f(0)=0,$  $f'(0)=1.$  Для зірчастих функцій та функцій, що близькі до опуклих, за допомогою властивостей підпорядкування  отримано нові та відмінні умови, де $r$ – натуральне число порядку $2^{-r}$ $\left(0<2^{-r} \le \dfrac{1}{2}\right).$  Використовуючи підпорядкованість, ми пропонуємо деякий критерій для $f(z)\in S^* [a^{r},b^{r}].$  Досліджено співвідношення між зірчастими функціями та функціями, що близькі до опуклих,  за певних умов згідно з властивостями підпорядкування.  Також досліджено опуклість деяких аналітичних функцій і вивчено їх локальні перетворення.  Крім того, досліджено властивості опуклості для $f(z)\in A$.