Геометричні структури на орбітах петельних груп дифеоморфізмів та асоційовані інтегровні гамільтонові системи „небесного'' типу. II

О. Є.  Гентош; Я. А.  Прикарпатський; О. А.  Балінський; А. К.  Прикарпатський

doi:10.37863/umzh.v74i9.7234

О. Є. Гентош Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв
Я. А. Прикарпатський
О. А. Балінський Мат. iн-т Унiверситету Кардiфф, Великобританiя
А. К. Прикарпатський Iн-т математики Кракiв. ун-ту технологiй, Польща

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v74i9.7234

Ключові слова: Геометричні структури

Анотація

УДК 517.9

Наведено огляд диференціально-геометричних і Лі-алгебраїчних підходів до вивчення широкого класу нелінійних інтегровних диференціальних систем „небесного'' типу, асоційованих із гамільтоновими потоками на спряжених просторах до петельних алгебр Лі векторних полів на торах. Ці потоки породжуються відповідними орбітами коприєднаної дії петельної групи дифеоморфізмів і задовольняють векторно-польові умови сумісності типу Лакса–Сато. Проаналізовано відповідні ієрархії законів збереження і їхній зв'язок з інваріантами Казиміра. Розглянуто типові приклади таких систем і встановлено їхню повну інтегровність за допомогою розвиненої Лі-алгебраїчної конструкції. Описано нові узагальнення інтегровних бездисперсійних систем „небесного'' типу, для яких відповідні породжуючі елементи орбіт мають факторизовану структуру, що допускає їхнє розширення на багатовимірний випадок.

Посилання

V. Ovsienko, C. Roger, Looped cotangent Virasoro algebra and non-linear integrable systems in dimension $2+1$, Commun. Math. Phys., 273, № 2, 357 – 378 (2007). DOI: https://doi.org/10.1007/s00220-007-0237-z

V. Ovsienko, Bi-Hamiltonian nature of the equation $u_{tx}=u_{xy}u_{y}-u_{yy}u_{x}$, Adv. Pure and Appl. Math., 1, № 1, 7 – 10 (2008); arXiv:0802.1818v1 (2008). DOI: https://doi.org/10.1515/apam.2010.002

A. Sergyeyev, B. M. Szablikowski, Central extensions of cotangent universal hierarchy: $(2+1)$-dimensional bi-Hamiltonian systems, Phys. Lett. A, 372, № 47, 7016 – 7023 (2008). DOI: https://doi.org/10.1016/j.physleta.2008.10.020

A. K. Prykarpatski, O. Ye. Hentosh, Ya. A. Prykarpatsky, The differential-geometric and algebraic aspects of the Lax – Sato theory, Mathematics, 5, № 4, MDPI, Basel, Switzerland (2017).

O. Ye. Hentosh, Ya. A. Prykarpatsky, D. Blackmore, A. K. Prykarpatski, Dispersionless completely integrable heavenly type Hamiltonian flows and their differential-geometric structure, Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Appl., 15, Article 079 (2019); https://doi.org/10.3842/SIGMA.2019.079. DOI: https://doi.org/10.17352/amp.000006

O. Ye. Hentosh, Ya. A. Prykarpatsky, D. Blackmore, A. K. Prykarpatski, Lie-algebraic structure of Lax – Sato integrable heavenly equations and the Lagrange – d’Alembert principle, J. Geom. and Phys., 120, 208 – 227 (2017); https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2017.06.003. DOI: https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2017.06.003

S. V. Manakov, P. M. Santini, Inverse scattering problem for vector fields and the Cauchy problem for the heavenly equation, Phys. Lett. A, 359, № 6, 613 – 619 (2006). DOI: https://doi.org/10.1016/j.physleta.2006.07.011

K. Takasaki, T. Takebe, $SDiff(2)$ Toda equation – hierarchy, tau function and symmetries, Lett. Math. Phys., 23, № 3, 205 – 214 (1991). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01885498

K. Takasaki, T. Takebe, Integrable hierarchies and dispersionless limit, Rev. Math. Phys., 7, № 5, 743 – 808 (1995). DOI: https://doi.org/10.1142/S0129055X9500030X

Л. А. Тахтаджян, Л. Д. Фаддеев, Гамильтонов подход к теории солитонов, Наука, Москва (1986).

D. Blackmore, A. K. Prykarpatsky, V. Hr. Samoylenko, Nonlinear dynamical systems of mathematical physics: spectral and symplectic integrability analysis, World Sci., Hackensack (2011). DOI: https://doi.org/10.1142/7960

М. А. Семенов-Тян-Шанский, Что такое классическая $r$-матрица?, Функц. анализ и его прил., 17, № 4, 17 – 33 (1983).

R. Abraham, J. Marsden, Foundations of mechanics, 2nd ed., Addison-Wesley Publ. Co., Inc., Redwood City, CA (1978).

C. Godbillon, Geometrie differentielle et mecanique analytique, Hermann, Paris (1969).

M. Blaszak, Multi-Hamiltonian theory of dynamical systems, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg (1998). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-58893-8

Л. В. Богданов, Интерполирующие дифференциальные редукции многомерных интегрируемых иерархий, Теор. и мат. физика, 167, № 3, 705 – 713 (2011). DOI: https://doi.org/10.4213/tmf6646

L. V. Bogdanov, B. G. Konopelchenko, On the heavenly equation and its reductions, J. Phys. A: Math. and Gen., 39, 11793 – 11802 (2006). DOI: https://doi.org/10.1088/0305-4470/39/38/006

L. V. Bogdanov, M. V. Pavlov, Linearly degenerate hierarchies of quasiclassical SDYM type, J. Math. Phys., 58, № 9, Article 093505 (2017). DOI: https://doi.org/10.1063/1.5004258

B. Doubrov, E. V. Ferapontov, On the integrability of symplectic Monge – Amp`{e}re equations, J. Geom. and Phys., 60, 1604 – 1616 (2010); arXiv:0910.3407v2 [math.DG] 13 Apr 2010. DOI: https://doi.org/10.1016/j.geomphys.2010.05.009

E. V. Ferapontov, J. Moss, Linearly degenerate PDEs and quadratic line complexes}; arXiv:1204.2777v1 [math.DG] 12 Apr 2012.

Л. Мартинес Алонсо, А. Б. Шабат, Гидродинамические редукции и решения универсальной иерархии, Теор. и мат. физика, 140, № 2, 216 – 229 (2004). DOI: https://doi.org/10.4213/tmf91