Теореми типу Валірона та Валірона–Тітчмарша для субгармонічних функцій повільного зростання

М. В.   Заболоцький; Т. М.  Заболоцький; С. І.  Тарасюк

doi:10.37863/umzh.v74i11.7251

М. В. Заболоцький Львiв. нац. ун-т iм. I. Франка
Т. М. Заболоцький Львів. нац. ун-т ім. І. Франка
С. І. Тарасюк Львів. нац. ун-т ім. І. Франка

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v74i11.7251

Ключові слова: субгармонійна функція, міра Рісса, повільно зростаюча функція.

Анотація

УДК 517.53

Нехай $u$ – субгармонічна в $\mathbb{R}^m,$ $m\geq 2,$ функція нульового порядку з мірою Рісса $\mu$ на від'ємній півосі $Ox_1,$ $n(r,u)=\mu\big(\big\{x\in\mathbb{R}^m\colon |x|\leq r\big\}\big),$ $d_m=m-2$ для $m\geq 3,$ $d_2=1,$ $N(r,u)=d_m\displaystyle\int\nolimits_{1}^{r}\dfrac{n(t,u)}{t^{m-1}}\,dt.$ За умови повільного зростання $N(r,u)$ знайдено асимптотику $u(x)$ при $|x|=r\to+\infty.$ Досліджено також обернений зв'язок між регулярним зростанням $u$ та поводженням $N(r,u)$ при $r\to+\infty.$

Посилання

G. Valiron, Sur les fonctions entiéres d’ordre nul et d’ordre fini, et en particulier sur les fonctions á correspondance réguliére, Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse, 5, No. 3, 117–257 (1913). DOI: https://doi.org/10.5802/afst.287

E. C. Titchmarsh, On integral functions with real negative zero, Proc. London Math. Soc., 26, No. 2, 185–200 (1927). DOI: https://doi.org/10.1112/plms/s2-26.1.185

М. В. Заболоцький, Теореми типу Валірона та Валірона–Тітчмарша для цілих функцій нульового порядку, Укр. мат. журн., 48, No. 3, 315–325 (1996).

А. А. Гольдберг, И. В. Островский, Распределение значений мероморфных функций, Наука, Москва (1970).

P. Z. Agranovich, Polynomial asymptotic representation of subharmonic functions with masses on one ray in the space, Mat. Studii, 23, No. 2, 169–178 (2005).

A. I. Kheyfits, Valiron–Titchmarsh theorem for subharmonic functions in ${R}^n$ with masses on a half-line, Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse, 23, No. 1, 159–173 (2014). DOI: https://doi.org/10.5802/afst.1401

Е. Сенета, Правильно меняющиеся функции, Наука, Москва (1985).

М. В. Келдыш, Об одной тауберовой теореме, Тр. Мат. ин-та АН СССР, 38, 77–86 (1951).

У. Хейман, П. Кеннеди, Субгармонические функции, Мир, Москва (1980).

М. В. Заболоцький, Асимптотика добутків Бляшке, лічильна функція нулів яких є повільно зростаючою, Укр. мат. журн., 52, No. 12, 1650–1660 (2000).