Smooth rigidity for higher-dimensional contact Anosov flows

Andrey Gogolev; Federico Rodriguez Hertz

doi:10.3842/umzh.v75i9.7253

Andrey Gogolev Department of Mathematics, The Ohio State University, Columbus, USA
Federico Rodriguez Hertz Department of Mathematics, The Pennsylvania State University, University Park, USA

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v75i9.7253

Анотація

УДК 515.12

Гладка жорсткість для контактних потоків Аносова вищої розмірності

Tехніку узгоджених функцій застосовано до контактних потоків Аносова, що задовольняють умови угруповання. Це дозволяє узагальнити результат про 3-вимірну жорсткість Фельдмана та Орнштейна [Ergodic Theory Dynam. Syst., 7, № 1, 49-72 (1987)]. А саме, показано, що якщо два таких потоки Аносова є $C^0$ спряженими, то вони є $C^{r}$ спряженими для деякого $r\in[1,2),$ або навіть $C^\infty$ спряженими за деяких додаткових припущень. Це, наприклад, стосується геодезичних потоків на компактних ріманових многовидах $1/4$-стисненої негативної секційної кривини. Наш результат можна також використати, щоб отримати результат Хамендстадт про жорсткість зі спектру маркованих довжин для дійсних гіперболічних многовидів.

Посилання

G. Besson, G. Courtois, S. Gallot, Entropies et rigidités des espaces localement symétriques de courbure strictement négative, Geom. and Funct. Anal., 5, 731–799 (1995). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01897050

P. Eberlein, Geodesic flows in manifolds of nonpositive curvature, Smooth Ergodic Theory and its Applications (Seattle, WA, 1999), Proc. Sympos. Pure Math., 69, Amer. Math. Soc., Providence, RI (2001), p. 525–571. DOI: https://doi.org/10.1090/pspum/069/1858545

J. Feldman, D. Ornstein, Semirigidity of horocycle flows over compact surfaces of variable negative curvature,

Ergodic Theory and Dynam. Systems, 7, № 1, 49–72 (1987). DOI: https://doi.org/10.1017/S0143385700003801

P. Foulon, B. Hasselblatt, Contact Anosov flows on hyperbolic 3-manifolds, Geom. Topol., 17, № 2, 1225–1252 (2013). DOI: https://doi.org/10.2140/gt.2013.17.1225

A. Gogolev, F. Rodriguez Hertz, Smooth rigidity for very non-algebraic expanding maps, J. Eur. Math. Soc., 25, № 8, 3289–3323 (2023). DOI: https://doi.org/10.4171/jems/1254

A. Gogolev, F. Rodriguez Hertz, Smooth rigidity for very non-algebraic Anosov diffeomorphisms of codimension one, Israel J. Math. (to appear).

A. Gogolev, F. Rodriguez Hertz, Smooth rigidity for codimension one Anosov flows, Proc. Amer. Math. Soc., 151, № 7, 2975–2988 (2023). DOI: https://doi.org/10.1090/proc/16177

M. Guysinsky, A. Katok, Normal forms and invariant geometric structures for dynamical systems with invariant contracting foliations, Math. Res. Lett., 5, 149–163 (1998). DOI: https://doi.org/10.4310/MRL.1998.v5.n2.a2

U. Hamenstädt, Cocycles, symplectic structures and intersection, Geom. and Funct. Anal., 9, № 1, 90–140 (1999). DOI: https://doi.org/10.1007/s000390050082

B. Hasselblatt, Regularity of the Anosov splitting and of horospheric foliations, Ergodic Theory and Dynam. Systems, 14, № 4, 645–666 (1994). DOI: https://doi.org/10.1017/S0143385700008105

B. Hasselblatt, Horospheric foliations and relative pinching, J. Different. Geom., 39, № 1, 57–63 (1994). DOI: https://doi.org/10.4310/jdg/1214454676

J.-L. Journé, A regularity lemma for functions of several variables, Rev. Mat. Iberoam., 2, 187–193 (1988). DOI: https://doi.org/10.4171/rmi/69

B. Kalinin, Non-stationary normal forms for contracting extensions, Vision for Dynamics in the 21st Century: the Legacy of Anatole Katok (to appear).

B. Kalinin, V. Sadovskaya, On Anosov diffeomorphisms with asymptotically conformal periodic data, Ergodic Theory and Dynam. Systems, 29, № 1, 117–136 (2009). DOI: https://doi.org/10.1017/S0143385708000357

A. Katok, B. Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems, Encyclopedia Math. and Appl., 54, Cambridge Univ. Press, Cambridge (1995). DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9780511809187