On the nonstandard maximum principle and its application for construction of monotone finite-difference schemes for multidimensional quasilinear parabolic equations

Le Minh Hieu; Nguyen Huu Nguyen Xuan; Dang Ngoc Hoang Thanh

doi:10.3842/umzh.v76i1.7273

Le Minh Hieu Department of Economics, University of Economics – The University of Danang, Vietnam
Nguyen Huu Nguyen Xuan Department of Research and International Cooperation, University of Economics – The University of Danang, Vietnam
Dang Ngoc Hoang Thanh Department of Information Technology, School of Business Information Technology, University of Economics, Ho Chi Minh city, Vietnam

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v76i1.7273

Анотація

УДК 517.9

Про нестандартний принцип максимуму та його застосування для побудови монотонних скінченно-різницевих схем для багатовимірних квазілінійних параболічних рівнянь

Розглянуто принцип максимуму різниці з вхідними даними змінного знака та його застосування для дослідження монотонності та збіжності скінченно-різницевих схем (СРС). Зокрема, розглянуто початково-крайову задачу Діріхле для багатовимірного квазілінійного параболічного рівняння з необмеженою нелінійністю. Побудовано безумовно монотонні лінеаризовані скінченно-різницеві схеми другого порядку точності на рівномірних сітках. Отримано двосторонні оцінки для сіткового розв'язку, які повністю узгоджуються з аналогічними оцінками для точного розв'язку. Ці оцінки використано для доведення збіжності СРС у сітковій $L_2$-нормі. Також наведено дослідження щодо побудови монотонних різницевих схем другого порядку для параболічного рівняння конвекції-дифузії з крайовою умовою третього роду та необмеженою нелінійністю без використання вихідного диференціального рівняння на межах області. Нашою метою є поєднання припущення про існування та єдиність гладкого розв'язку з принципом регуляризації. Граничні умови в цьому випадку безпосередньо апроксимуються на двоточковому трафареті другого порядку.

Посилання

V. B. Andreev, About convergence of difference schemes with splitting operator approximating the third boundary-value problem (in Russian), Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz., 9, № 2, 337–349 (1969). DOI: https://doi.org/10.1016/0041-5553(69)90096-2

I. Farago, R. Horvath, Discrete maximum principle and adequate discretizations of linear parabolic problems, SIAM J. Sci. Comput., 28, 2313–2336 (2006). DOI: https://doi.org/10.1137/050627241

I. Farago, R. Horvath, S. Korotov, Discrete maximum principles for fe solutions of nonstationary diffusion-reaction problems with mixed boundary conditions, Numer. Methods Partial Differential Equations, 27, № 3, 702–720 (2011). DOI: https://doi.org/10.1002/num.20547

I. Farago, J. Karatson, S. Korotov, Discrete maximum principles for nonlinear parabolic pde systems, IMA J. Numer. Anal., 32, № 4, 1541–1573 (2012). DOI: https://doi.org/10.1093/imanum/drr050

A. Friedman, Partial differential equations of parabolic type, Prentice-Hall, Englewood Cliffs (1964).

I. V. Frjazinov, About difference approximation of boundary conditions for the third boundary value problem} (in Russian), Zh. Vychisl. Mat. Mat. Fiz., 4, № 4, 1106–1112 (1964). DOI: https://doi.org/10.1016/0041-5553(64)90090-4

F. J. Gaspar, F. J. Lisbona, P. P. Matus, V. T. K. Tuyen, Monotone finite difference schemes for quasilinear parabolic problems with mixed boundary conditions, Comput. Methods Appl. Math., 16, № 2, 231–243 (2016). DOI: https://doi.org/10.1515/cmam-2016-0002

F. J. Gaspar, F. J. Lisbona, P. P. Matus, V. T. K. Tuyen, Numerical methods for a one- dimensional non-linear biot’s model, J. Comput. and Appl. Math., 293, 62–72 (2016). DOI: https://doi.org/10.1016/j.cam.2015.03.039

S. Godunov, V. Ryabenkii, Difference schemes} (in Russian), Nauka, Moscow (1977).

L. M. Hieu, T. T. H. Hanh, D. N. H. Thanh, A finite-difference scheme for initial boundary value problem of the gamma equation in the pricing of financial derivatives, J. Math. Comput. Sci., 20, № 4, 283–291 (2020). DOI: https://doi.org/10.22436/jmcs.020.04.02

L. M. Hieu, T. T. H. Hanh, D. N. H. Thanh, Monotone finite-difference schemes with second order approximation based on regularization approach for the Dirichlet boundary problem of the gamma equation, IEEE Access, 8, 45119–45132 (2020); DOI: 10.1109/ACCESS.2020.2978594. DOI: https://doi.org/10.1109/ACCESS.2020.2978594

M. N. Koleva, L. G. Vulkov, A second-order positivity preserving numerical method for gamma equation, Appl. Math. and Comput., 220, 722–734 (2013). DOI: https://doi.org/10.1016/j.amc.2013.06.082

O. A. Ladyzhenskaya, Solution of the first boundary value problem in the whole for quasilinear parabolic equations, Tr. Mosk. Mat. Obsheh., 7, 149–177 (1958).

O. A. Ladyzhenskaya, V. A. Solonnikov, N. N. Ural’tseva, Linear and quasilinear equations of parabolic type} (in Russian), Nauka, Moscow (1967).

P. P. Matus, Monotone schemes of a higher order of accuracy for differential problems with boundary conditions of the second and third kind, Comput. Methods Appl. Math., 2, № 4, 378–391 (2002). DOI: https://doi.org/10.2478/cmam-2002-0021

P. P. Matus, D. Poliakov, D. Pylak, On convergence of diffrence schemes for Dirichlet ibvp for two-dimensional quasilinear parabolic equations, Int. J. Environment and Pollution, 66, № 1–3, 63–79 (2019). DOI: https://doi.org/10.1504/IJEP.2019.104515

P. P. Matus, The maximum principle and some of its applications, Comput. Methods Appl. Math., 2, № 1, 50–91 (2002). DOI: https://doi.org/10.2478/cmam-2002-0004

P. P. Matus, On convergence of difference schemes for ibvp for quasilinear parabolic equation with generalized solutions, Comput. Methods Appl. Math., 14, № 3, 361–371 (2014). DOI: https://doi.org/10.1515/cmam-2014-0008

P. P. Matus, F. Gaspar, L. M. Hieu, V. T. K. Tuyen, Monotone difference schemes for weakly coupled elliptic and parabolic systems, Comput. Methods Appl. Math., 17, № 2, 287–298 (2017). DOI: https://doi.org/10.1515/cmam-2016-0046

P. P. Matus, L. M. Hieu, Difference schemes on nonuniform grids for the two-dimensional convection-diffusion equation, Comput. Math. and Math. Phys., 57, 1994–2004 (2017). DOI: https://doi.org/10.1134/S0965542517120107

P. P. Matus, L. M. Hieu, D. Pylak, Monotone finite-difference schemes of second-order accuracy for quasilinear parabolic equations with mixed derivatives, Different. Equat., 55, № 3, 424–436 (2019). DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266119030157

P. P. Matus, L. M. Hieu, D. Pylak, Difference schemes for quasilinear parabolic equations with mixed derivatives} (in Russian), Dokl. Nats. Acad. Sci. Belarusi, 63, № 3, 263–269 (2019). DOI: https://doi.org/10.29235/1561-8323-2019-63-3-263-269

P. P. Matus, L. M. Hieu, L. G. Vulkov, Maximum principle for finite-difference schemes with non sign-constant input data} (in Russian), Dokl. Nats. Acad. Sci. Belarusi, 59, № 5, 13–17 (2015).

P. P. Matus, L. M. Hieu, L. G. Vulkov, Analysis of second order difference schemes on non-uniform grids for quasilinear parabolic equations, J. Comput. and Appl. Math., 310, 186–199 (2017). DOI: https://doi.org/10.1016/j.cam.2016.04.006

P. P. Matus, S. Lemeshevsky, Stability and monotonicity of difference schemes for nonlinear scalar conservation laws and multidimensional quasi-linear parabolic equations, Comput. Methods Appl. Math., 9, № 3, 253–280 (2009). DOI: https://doi.org/10.2478/cmam-2009-0016

P. P. Matus, D. Poliakov, Consistent two-sided estimates for the solutions of quasilinear parabolic equations and their approximations, Different. Equat., 53, № 7, 964–973 (2017). DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266117070126

P. P. Matus, D. Poliakov, L. M. Hieu, On the consistent two-side estimates for the solutions of quasilinear convection-diffusion equations and their approximations on non-uniform grids, J. Comput. and Appl. Math., 340, 571–581 (2018). DOI: https://doi.org/10.1016/j.cam.2017.09.020

P. P. Matus, D. Poliakov, L. M. Hieu, On convergence of difference schemes for Dirichlet ibvp for two-dimensional quasilinear parabolic equations with mixed derivatives and generalized solutions, Comput. Methods Appl. Math., 20, № 4, 695–707 (2020). DOI: https://doi.org/10.1515/cmam-2019-0052

P. P. Matus, I. V. Rybak, Monotone difference schemes for nonlinear parabolic equations, Different. Equat., 39, № 7, 1013–1022 (2003). DOI: https://doi.org/10.1023/B:DIEQ.0000009197.94879.5c

P. P Matus, I. V. Rybak, Difference schemes for elliptic equations with mixed derivatives, Comput. Methods Appl. Math., 4, № 4, 494–505 (2004). DOI: https://doi.org/10.2478/cmam-2004-0027

P. P. Matus, V. T. K. Tuyen, F. J. Gaspar, Monotone difference schemes for linear parabolic equation with mixed boundary conditions (in Russian), Dokl. Nats. Acad. Sci. Belarusi, 58, № 5, 18–22 (2014).

A. A. Samarskii, The theory of difference schemes, Marcel Dekker, New York (2001). DOI: https://doi.org/10.1201/9780203908518

A. A. Samarskii, A. V. Gulin, Stability of difference schemes, Nauka, Moscow (1973).

A. A. Samarskii, P. N. Vabishchevich, Numerical methods for solution of convection-diffusion problems (in Russian), Editorial YRSS, Moskow (1999).

V. S. Vladimirov, Equations of mathematical physics (in Russian), Nauka, Moscow (1964).