Лінійне диференціальне рівняння з неоднорідністю у вигляді формального степеневого ряду над кільцем із неархімедовим нормуванням

С. Л.  Гефтер; А. Б.  Гончарук

doi:10.37863/umzh.v74i11.7287

С. Л. Гефтер Харків. нац. ун-т ім. В. Н. Каразіна
А. Б. Гончарук Харків. нац. ун-т ім. В. Н. Каразіна

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v74i11.7287

Ключові слова: Лінійні диференціальні рівняння, неархімедове нормування, формальні степеневі ряди, фундаментальний розв'язок, згортка

Анотація

УДК 517.922

Розглядається лінійне неоднорідне диференціальне рівняння $m$-того порядку зі сталими коефіцієнтами, що належать кільцю нормування $K$ неархімедового поля. Отримані достатні умови існування і єдиності його розв'язку з кільця формальних степеневих рядів $K[[x]]$. Також для цього рівняння побудовано фундаментальний розв'язок, що його згортка з неоднорідністю є єдиним розв'язком розглянутого рівняння.

Посилання

W. Balser, Formal power series and linear systems of meromorphic ordinary differential equations, Springer, New York (2000); DOI:10.1017/10.1007/b97608.

B. Brisson, Sur l'intégrazion des équations différentielles partielles, J. Éc. polytech. Math., 14, 191–261 (1808).

P. Buckingham, Factorial-type recurrence relations and $p$-adic incomplete gamma functions}; ArXiV (2022); DOI: 10.48550/arXiv.2206.12726.

P.-J. Cahen, J.-L. Chabert, Integer-valued polynomials, Math. Surveys and Monogr., vol. 48 (1997). DOI: https://doi.org/10.1090/surv/048

H. Cartan, Elementary theory of analytic functions of one or several complex variables, Dover Books on Math., Dover Publ. (2013).

B. Dwork, Lectures on $p$-adic differential equations, Grundlehren Math. Wiss., vol. 253, Springer, New York etc. (1982); DOI:10.1007/978-1-4613-8193-8. DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8193-8

B. Dwork, G. Gerotto, F. J. Sullivan, An introduction to $G$-functions. (AM-133), vol. 133, Ann. Math. Stud., Princeton Univ. Press (2016); DOI: 10.1515/9781400882540. DOI: https://doi.org/10.1515/9781400882540

S. L. Gefter, Differential operators of infinite order in the space of formal laurent series and in the ring of power series with integer coefficients, J. Math. Sci., 239, No. 3, 282–291 (2019); DOI: 10.1007/s10958-019-04304-y. DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-019-04304-y

S. L. Gefter, A. B. Goncharuk, Fundamental solution of an implicit linear inhomogeneous first order differential equation over an arbitrary ring, J. Math. Sci., 219, No. 6, 922–935 (2016); DOI: 10.1007/s10958-016-3155-9. DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-016-3155-9

S. L. Gefter, A. B. Goncharuk, The Hurwitz product, $p$-adic topology on $mathbb{Z},$ and fundamental solution to linear differential equation in the ring $mathbb{Z}[[x]]$, J. Math. Sci., 228, No. 6, 633–638 (2018); DOI: 10.1007/s10958-017-3651-6. DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-017-3651-6

S. L. Gefter, T. E. Stulova, Fundamental solution of the simplest implicit linear differential equation in a vector space, J. Math. Sci., 207, 166–175 (2015); DOI: 10.1007/s10958-015-2363-z. DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-015-2363-z

H. Grauert, R. Remmert, Analytische Stellenalgebren, Grundlehren Math. Wiss., Springer-Verlag (1971); DOI: 10.1007/978-3-642-65033-8. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-65033-8

E. Kamke, Differentialgleichungen Lösungsmethoden und Lösungen, Springer-Verlag (2013); DOI:10.1007/978-3-663-05925-7. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-663-05925-7

К. S. Kedlaya, $p$-Adic differential equations, Cambridge Univ. Press (2010); DOI:10.1017/CBO9780511750922. DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9780511750922

A. Yu. Khrennikov, S. V. Kozyrev, W. A. Zuniga-Galindo, Ultrametric pseudodifferential equations and applications, Encyclopedia Math. and Appl., Cambridge Univ. Press (2018); DOI:10.1017/9781316986707. DOI: https://doi.org/10.1017/9781316986707

A. N. Kochubei, Analysis in positive characteristic, Cambridge Tracts in Math., Cambridge Univ. Press (2009); DOI:10.1017/CBO9780511575624. DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9780511575624

S. Lang, Algebra, Graduate Texts in Mathematics, Springer, New York (2012); DOI: 10.1007/978-1-4613-0041-0. DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0041-0

A. F. Leont'ev, Generalization of series of exponentials (in Russian), Nauka, Moscow (1981).

R. Lid, H. Niederreiter, Finite fields, Cambridge Univ. Press (1996); DOI:10.1017/CBO9780511525926. DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9780511525926

E. Lutz, Sur l'équation $y^2=x^3-ax-b$ dans les corps $p$-adiques, J. reine und angew. Math., 177, 238–247 (1937). DOI: https://doi.org/10.1515/crll.1937.177.238

B. Malgrange, Sur les points singuliers des équations différentielles, Enseign. Math., 20, 147–176 (1974).

C. Perez-Garcia, W. H. Schikhof, Locally convex spaces over non-Archimedean valued fields, Cambridge Stud. Adv. Math., Cambridge Univ. Press (2010); DOI:10.1017/CBO9780511729959. DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9780511729959

S. Pincherlet, Della validitá effettiva di alcuni sviluppi in serie di funzioni, Rend. Lincei, 5, 27–33 (1896).

P. Robba, G. Christol, Equations différentielles p-adiques: applications aux sommes exponentielles, Actualités Math., vol. 12, Hermann (1994).

P. C. Sikkema, Differential operators and differential equations of infinite order with constant coefficients; researches in connection with integral functions of finite order, P. Noordhoff, Groningen (1953); DOI: 10.2307/3610004. DOI: https://doi.org/10.2307/3610004

M. F. Singer, Formal solutions of differential equations, J. Symbolic Comput., 10, 59–94 (1990). DOI: https://doi.org/10.1016/S0747-7171(08)80037-5

V. S. Vladimirov, Generalized functions in mathematical physics, Mir, Moscow (1979).

О. Л. Півень, С. Л. Гефтер, Диференціальні оператори нескінченного порядку в модулі формальних узагальнених функцій та у кільці формальних степеневих рядів, Укр. мат. журн., 74, No. 6, 784–799 (2022); DOI: 10.37863/umzh.v74i6.6955. DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v74i6.6955