Бігармонічна задача для кута і моногенні функції

С. В.  Грищук; С. А.  Плакса

doi:10.37863/umzh.v74i11.7292

С. В. Грищук Iн-т математики НАН України, Київ
С. А. Плакса Iн-т математики НАН України, Київ http://orcid.org/0000-0002-2828-0329

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v74i11.7292

Ключові слова: Бігармонічне рівняння, бігармонічна алгебра, бігармонічна площина, моно генна функція, крайова задача типу задачі Шварца, бігармонічний інтеграл Шварца, інтегральне рівняння Фредгольма

Анотація

УДК 517.54, 517.95

Розглядається кусково-неперервна бігармонічна задача у куті і відповідна їй крайова задача типу задачі Шварца для моногенних функцій у комутативній бігармонічній алгебрі. Вказані задачі редуковано до системи інтегральних рівнянь на додатній півпрямій. Показано, що на кожному відрізку цієї півпрямої множина розв'язків системи збігається з множиною розв'язків певної системи інтегральних рівнянь Фредгольма.

Посилання

С. Г.~Михлин, Плоская задача теории упругости, Тр. Сейсм. ин-та АН СССР, No. 65 (1934).

В. А. Кондратьев, Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками, Тр. Моск. мат. о-ва, 16, 209–292 (1967).

В. А. Кондратьев, О. А. Олейник, Краевые задачи для уравнений с частными производными в негладких областях, Успехи мат. наук, 38, No. 2(230), 3–76 (1983).

A. Kufner, A.-M. Sändig, Some applications of weighted Sobolev spaces, Teubner-Texte zur Mathematik, 100, Teubner, Leipzig (1987). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-663-11385-0

V. Maz'ya, S. Nazarov, B. Plamenevskij, Asymptotic theory of elliptic boundary value problems in singularly perturbed domains, vol.~1, Oper. Theory Adv. and Appl., 111, Springer Sci. & Business Media (2000). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-0348-8434-1

Н. И. Мусхелишвили, Некоторые основные задачи математической теории упругости, Наука, Москва (1966).

A. I. Lurie, Theory of еlasticity, Springer-Verlag, Berlin etc. (2005).

S. G. Mikhlin, N. F. Morozov, M. V. Paukshto, The integral equations of the theory of elasticity, Teubner-Texte zur Mathematik, 135, Springer, Stuttgart etc. (1995). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-663-11626-4

S. G. Mikhlin, Integral equations and their applications to certain problems in mechanics, Mathematical Physics and Technology, Pergamon Press, New York (1964).

J. Lu, Complex variable methods in plane elasticity, Ser. Pure Math., 22, World Sci., Singapore (1995). DOI: https://doi.org/10.1142/2597

В. Д. Купрадзе, Методы потенциала в теории упругости, Физматгиз, Москва (1963).

Н. С. Кахниашвили, Исследования плоских задач теории упругости методом теории потенциалов, Тр. Тбил. ун-та, 50} (1953).

Я. Б. Лопатинский, Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям, Укр. мат. журн, 5, No. 2, 123–151 (1953).

О. И. Панич, О потенциалах для полигармонического уравнения четвертого порядка, Мат. сб., 50(92), No. 3, 335–368 (1960).

В. Г. Мазья, Граничные интегральные уравнения, Анализ-4, Итоги науки и техники, Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 27, 131–228 (1988).

Л. Г. Магнарадзе, Основные задачи плоской теории упругости для контуров с угловыми точками, Тр. Тбил. мат. ин-та, 4, 43–76 (1938).

И. О. Радон, О краевых задачах для логарифмического потенциала, Успехи мат. наук, 1, No. 3-4(13-14), 96–124 (1946).

Г. Н. Положий, Решение некоторых задач плоской теории упругости для областей с угловыми точками, Укр. мат. журн., 1, No. 4, 16–41 (1949).

G. Albinus, Multiple layer potentials for the quadrant and their application to the Dirichlet problem in plane domains with a piecewise smooth boundary, Banach Center Publ., 10, №1, 7–26 (1983). DOI: https://doi.org/10.4064/-10-1-7-26

И. П. Мельниченко, С. А. Плакса, Редукция основной бигармонической задачи для квадранта к несингулярным интегральным уравнениям, Укр. мат. журн., 47, No. 6, 775–784 (1995).

Р. Джафаров, О бесконечной дифференцируемости решений одной краевой задачи для полигармонического уравнения в угловой области, Укр. мат. вісн., 2, No. 4, 487–494 (2005).

С. А. Халилов, С. Г. Кравченко, Решение основной бигармонической проблемы в трапециевидной области, Открытые информ. и компьютер. интегр. технологии, No. 43, 213–223 (2009).

S. V. Gryshchuk, S. A. Plaksa, Schwartz-type integrals in a biharmonic plane, Int. J. Pure and Appl. Math., 83, No. 1, 193–211 (2013). DOI: https://doi.org/10.12732/ijpam.v83i1.13

S. V. Gryshchuk, S. A. Plaksa, Monogenic functions in the biharmonic boundary value problem, Math. Methods Appl. Sci., 39, No. 11, 2939–2952 (2016). DOI: https://doi.org/10.1002/mma.3741

С. В. Грищук, Одновимірність ядра системи інтегральних рівнянь Фредгольма для однорідної бігармонічної задачі, Зб. праць Ін-ту математики НАН України, 14, No. 1, 128–139 (2017).

S. V. Gryshchuk, S. A. Plaksa, Schwartz-type boundary value problems for monogenic functions in a biharmonic algebra, Analysis as a Life, Dedicated to Heinrich Begehr on the Occasion of his 80th Birthday (Trends Math.), Birkhäuser, 193–211 (2019). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-02650-9_10

S. V. Gryshchuk, S. A. Plaksa, A hypercomplex method for solving boundary value problems for biharmonic functions, Algorithms as a Basis of Modern Applied Mathematics (Stud. Fuzziness and Soft Comput.), 404, 231–255 (2021). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-61334-1_12

S. V. Gryshchuk, S. A. Plaksa, Schwartz-type boundary value problems for canonical domains in a biharmonic plane, Ukr. Math. Bull., 18, No. 3, 338–358 (2021). DOI: https://doi.org/10.37069/1810-3200-2021-18-3-4

В. Ф. Ковалев, И. П. Мельниченко, Бигармонические функции на бигармонической плоскости, Доп. АН УРСР. Сер. А, No. 8, 25–27 (1981).

И. П. Мельниченко, Бигармонические базисы в алгебрах второго ранга, Укр. мат. журн., 38, No. 2, 252–254 (1986).

L. Sobrero, Nuovo metodo per lo studio dei problemi di elasticitá, con applicazione al problema della piastra forata, Ric. Ingegn., 13, No. 2, 255–264 (1934).

A. Douglis, A function-theoretic approach to elliptic systems of equations in two variables, Commun. Pure and Appl. Math., 6, №2, 259–289 (1953). DOI: https://doi.org/10.1002/cpa.3160060205

С. В. Грищук, С. А. Плакса, Моногенные функции в бигармонической алгебре, Укр. мат. журн., 61, No. 12, 1587–1596 (2009).

S. V. Gryshchuk, S. A. Plaksa, Basic properties of monogenic functions in a biharmonic plane, Complex Analysis and Dynamical Systems V, Contemp. Math., 591, 127–134 (2013). DOI: https://doi.org/10.1090/conm/591/11831

В. Ф. Ковалев, Бигармоническая задача Шварца, Киев (1986), 19 с. (Препринт, НАН Украины. Ин-т математики; 86.16).

S. G Krein, Linear equations in Banach spaces, Birkhäuser, Boston (1982). DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4684-8068-9