Inverse problems, Sobolev–Chebyshev polynomials and asymptotics

Luis Alejandro Molano Molano

doi:10.3842/umzh.v75i10.7293

Luis Alejandro Molano Molano Escuela de Matemáticas y Estadística Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia, Duitama

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v75i10.7293

Анотація

УДК 517.9

Обернені задачі, поліноми Соболєва–Чебишова та асимптотика

Нехай $(u,v)$ – пара квазівизначених симетричних лінійних функціоналів, в яких $\{P_{n}\}_{n\geq0}$ і $\{Q_{n}\}_{n\geq0}$ є відповідними послідовностями монічних ортогональних поліномів (ПМОП). Послідовність монічних поліномів $\{R_{n}\}_{n\geq0}$ визначено таким чином: $$\frac{P_{n+2}'(x)}{n+2}+b_{n}\frac{P_{n}'(x)}{n}-Q_{n+1}(x)=d_{n}R_{n-1}(x),\quad n\geq1.$$

Наведено необхідні та достатні умови для того, щоб послідовність $\{R_{n}\}_{n\geq0}$ була ортогональною до квазівизначеного лінійного функціонала $w.$ Крім того, розглянуто випадок, коли $\{P_{n}\}_{n\geq0}$ і $\{Q_{n}\}_{n\geq0}$ – монічні поліноми Чебишова першого і другого роду відповідно, та вивчено відносну зовнішню асимптотику поліномів Соболєва, ортогональних щодо соболєвського скалярного добутку \begin{equation*}\langle p,q\rangle _{S}=\int\limits _{-1}^{1}pq(1-x^{2})^{-1/2}dx+\lambda_{1}\int\limits _{-1}^{1}p'q'(1-x^{2})^{1/2}dx+\lambda_{2}\int\limits _{-1}^{1}p''q''d\mu(x),\end{equation*} де $\mu$ – додатна борелівська міра, пов’язана з $w$ і $\lambda_{1},\lambda_{2}>0,$ $\lambda_{2}$ – лінійний поліном від $\lambda_{1 }.$

Посилання

M. Abramowitz, I. A. Stegun (Eds.), Handbook of mathematical functions, 10th ed., Dover, New York (1972).

M. Alfaro, F. Marcellán, M. L. Rezola, Orthogonal polynomials on Sobolev spaces: old and new directions, J.~Comput. and Appl. Math., 48, 113–131 (1993). DOI: https://doi.org/10.1016/0377-0427(93)90318-6

M. Alfaro, A. Peña, J. Petronilho, M. L. Rezola, On linearly related orthogonal polynomials and their functionals, J. Math. Anal. and Appl., 287, 307–319 (2003). DOI: https://doi.org/10.1016/S0022-247X(03)00565-1

A. Ali Kheli, A. Belkebir, M. N. Bouras, On a new combination of orthogonal polynomials sequences, Vladikavkaz Math. J., 24, № 3, 5–20 (2022). DOI: https://doi.org/10.46698/a8091-7203-8279-c

D. Barrios, G. López Lagomasino, Asymptotic behavior of solutions of general three term recurrence relations, Adv. Comput. Math., 26, 9–37 (2007). DOI: https://doi.org/10.1007/s10444-004-4137-x

T. S. Chihara, An introduction to orthogonal polynomials, Gordon and Breach, New York (1978).

E. B. Christoffel, Über die Gaussische Quadratur und eine Verallgemeinerung derselben, J. reine und angew. Math., 55, 61–82 (1858). DOI: https://doi.org/10.1515/crll.1858.55.61

A. Delgado, Ortogonalidad no estándar: problemas directos e inversos, Ph. D. Thesis (in Spanish), Univ. Carlos III de Madrid, Spain (2006).

A. Delgado, F. Marcellán, On an extension of symmetric coherent pairs of orthogonal polynomials, J. Comput. and Appl. Math., 178, 155–168 (2005). DOI: https://doi.org/10.1016/j.cam.2004.02.026

H. Dueñas, F. Marcellán, A. Molano, An inverse problem associated with (1,1)-symmetric coherent linear functionals, Integral Transforms Spec. Funct., 30, № 7, 526–546 (2019). DOI: https://doi.org/10.1080/10652469.2019.1590354

H. Dueñas, F. Marcellán, A. Molano, On symmetric $(1,1)$-coherent pairs and Sobolev orthogonal polynomials: an algorithm to compute Fourier coefficients, Rev. Colomb. Mat., 53, № 2, 139–164 (2019). DOI: https://doi.org/10.15446/recolma.v53n2.85524

Ya. L. Geronimus, On the polynomials orthogonal with respect to a given number sequence, Zap. Mat. Otdel. Khar'kov. Univ. i NII Mat. i Mekh., 17, 3–18 (1940).

Ya. L. Geronimus, On the polynomials orthogonal with respect to a given number sequence and a theorem by W.~Hahn, lzv. Akad. Nauk SSSR, 4, № 2, 215–228 (1940).

M. E. H. Ismail, D. R. Masson, Generalized orthogonality and continued fractions, J. Approx. Theory, 83, 1–40 (1995). DOI: https://doi.org/10.1006/jath.1995.1106

A. Iserles, P. E. Koch, S. P. Nørsett, J. M. Sanz-Serna, On polynomials orthogonal with respect to certain Sobolev inner products, J. Approx. Theory, 65, 151–175 (1991). DOI: https://doi.org/10.1016/0021-9045(91)90100-O

M. N. de Jesús, F. Marcellán, J. Petronilho, N. Pinzón-Cortés, $(M,N)$-coherent pairs of order $(m,k)$ and Sobolev orthogonal polynomials, J. Comput. and Appl. Math., 256, 16–35 (2014).

M. N. de Jesús, J. Petronilho, On linearly related sequences of derivatives of orthogonal polynomials, J. Math. Anal. and Appl., 347, 482–492 (2008). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2008.06.017

D. C. Lewis, Polynomial least square approximations, Amer. J. Math., 69, 273–278 (1947). DOI: https://doi.org/10.2307/2371851

D. S. Lubinsky, Asymptotics of orthogonal polynomials: some old, some new, some identities, Acta Appl. Math., 61, 207–256 (2000).

F. Marcellán, J. J. Moreno Balcázar, Asymptotics and zeros of Sobolev orthogonal polynomials on unbounded supports, Acta Appl. Math., 94, № 2, 163–192 (2006). DOI: https://doi.org/10.1007/s10440-006-9073-y

F. Marcellán, S. Varma, On an inverse problem for a linear combination of orthogonal polynomials, J. Difference Equat. and Appl., 20, 570–585 (2014). DOI: https://doi.org/10.1080/10236198.2013.864287

F. Marcellán, Y. Xu, On Sobolev orthogonal polynomials, Expo. Math., 33, № 3, 308–352 (2015). DOI: https://doi.org/10.1016/j.exmath.2014.10.002

H. G. Meijer, A short history of orthogonal polynomials in a Sobolev space I. The non-discrete case, Niew Archief voor Wiskunde, 14, 93–113 (1996).

J. Petronilho, On the linear functionals associated to linearly related sequences of orthogonal polynomials, J. Math. Anal. and Appl., 315, 379–393 (2006). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2005.05.018

G. Szegő, Orthogonal polynomials, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ, 23, 4th ed., Amer. Math. Soc., Providence, RI (1975).

V. B. Uvarov, Relation between polynomials orthogonal with different weights (in Russian), Dokl. Akad. Nauk SSSR, 126, 33–36 (1959).

V. B. Uvarov, The connection between systems of polynomials that are orthogonal with respect to different distributionfunctions (in Russian), Z. Vychisl. Mat. i Mat. Fiz., 9, 1253–1262 (1969); , English translation:, Comput. Math. and Math. Phys., 9, 25–36 (1969).

A. Zhedanov, Rational spectral transformations and orthogonal polynomials, J. Comput. and Appl. Math., 85, 67–86 (1997). DOI: https://doi.org/10.1016/S0377-0427(97)00130-1