On some identities involving certain Hardy sums and Kloosterman sum

M. C. Dağlı

doi:10.37863/umzh.v72i11.731

M. C. Dağlı Akdeniz Univ., Turkey

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v72i11.731

Ключові слова: Dedekind sum, Hardy sum, Computational problem, Kloosterman sum, Gauss sum, Hybrid mean value

Анотація

UDC 511

Про деякі тотожності із певними сумами Гарді та сумою Клоостермана

Запропоновано нову теорему взаємності для суми Гарді $s_{5}(h,p).$ Крім цього, вивчається гібридна задача про середні значення, яка мiстить суму Гарді $s_{4}(h,p)$ і суму Клоостермана, та отримано дві точні обчислювальні формули.

Посилання

T. M. Apostol, Introduction to analytic number theory, Undergrad. Texts Math., Springer-Verlag, New York (1976). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-28579-4

B. C. Berndt, Analytic Eisenstein series, theta functions and series relations in the spirit of Ramanujan, J. reine und angew. Math., 303/304, 332 – 365 (1978), https://doi.org/10.1515/crll.1978.303-304.332 DOI: https://doi.org/10.1515/crll.1978.303-304.332

S. Chowla, On Kloosterman’s sum, Nor. Vidensk. Selsk. Fak. Frondheim, 40, 70 – 72 (1967).

J. B. Conrey, E. Fransen, R. Klein, C. Scott, Mean values of Dedekind sums, J. Number Theory, 56, № 2, 214 – 226 (1996), https://doi.org/10.1006/jnth.1996.0014 DOI: https://doi.org/10.1006/jnth.1996.0014

X. Du, L. Zhang, On the Dedekind sums and its new reciprocity formula, Miskolc Math. Notes, 19, 235 – 239 (2018), https://doi.org/10.18514/mmn.2018.1664 DOI: https://doi.org/10.18514/MMN.2018.1664

L. A. Goldberg, Transformations of theta-functions and analogues of Dedekind sums, Ph. D. Thesis, Univ. Illinois, Urbana (1981).

A. V. Malyshev, A generalization of Kloosterman sums and their estimates (in Russian), Vestn. Leningr. Univ., 15, 59 – 75 (1960).

W. Peng, T. Zhang, Some identities involving certain Hardy sum and Kloosterman sum, J. Number Theory, 165, 355 – 362 (2016), https://doi.org/10.1016/j.jnt.2016.01.028 DOI: https://doi.org/10.1016/j.jnt.2016.01.028

H. Rademacher, E. Grosswald, Dedekind sums, Math. Assoc. America, Washington, D.C. (1972). DOI: https://doi.org/10.5948/UPO9781614440161

R. Sitaramachandrarao, Dedekind and Hardy sums, Acta Arith., 48, № 4, 325 – 340 (1987), https://doi.org/10.4064/aa-48-4-325-340 DOI: https://doi.org/10.4064/aa-48-4-325-340

H. Walum, An exact formula for an average of $L$-series, Ill. J. Math., 26, 1 – 3 (1982). DOI: https://doi.org/10.1215/ijm/1256046895

Z. Wenpeng, L. Yanni, A hybrid mean value related to the Dedekind sums and Kloosterman sums, Sci. China Math., 53, 2543 – 2550 (2010), https://doi.org/10.1007/s11425-010-3153-1 DOI: https://doi.org/10.1007/s11425-010-3153-1

H. Zhang, W. Zhang, On the identity involving certain Hardy sums and Kloosterman sums, J. Inequal. and Appl., 52 (2014), 9 p., https://doi.org/10.1186/1029-242X-2014-52 DOI: https://doi.org/10.1186/1029-242X-2014-52

W. Zhang, On the mean values of Dedekind sums, J. Theor. Nombres Bordeaux, 8, 429 – 442 (1996). DOI: https://doi.org/10.5802/jtnb.179

W. Zhang, A note on the mean square value of the Dedekind sums, Acta Math. Hung., 86, 119 – 135 (2000), https://doi.org/10.1023/A:1006724724840 DOI: https://doi.org/10.1023/A:1006724724840