Fixed-point theorem for an infinite Toeplitz matrix and its extension to general infinite matrices

Vyacheslav M. Abramov

doi:10.3842/umzh.v76i3.7324

Vyacheslav M. Abramov 24 Sagan Drive, Cranbourne North, Victoria, Australia

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v76i3.7324

Анотація

УДК 517.9

Tеорема про нерухому точку для нескінченної матриці Tепліца та її поширення на загальні нескінченні матриці

У [V. M. Abramov, Bull. Austral. Math. Soc., 104, 108–117 (2021)] досліджено рівняння з нерухомою точкою для нескінченної невід'ємної особливої матриці Тепліца. У цій статті ми наводимо альтернативне доведення існування додатного розв'язку в загальному випадку. Наведене доведення ґрунтується на застосуванні варіанту теореми М. О. Красносельського про нерухому точку. Результати поширено на рівняння з нескінченними матрицями загального вигляду.

Посилання

V. M. Abramov, Fixed point theorem for an infinite Toeplitz matrix, Bull. Aust. Math. Soc., 104, 108–117 (2021). DOI: https://doi.org/10.1017/S0004972720001215

V. M. Abramov, Optimal control of a large dam with compound Poisson input and costs depending on water levels, Stochastics, 91, № 3, 433–483 (2019). DOI: https://doi.org/10.1080/17442508.2018.1551395

F. Başar, Summability theory and its applications, 2nd ed., CRC Press/Taylor & Francis Group, Boca Raton etc. (2022). DOI: https://doi.org/10.1201/9781003294153

T. A. Burton, A fixed point theorem of Krasnosel'skii, Appl. Math. Lett., 11, 85–88 (1998). DOI: https://doi.org/10.1016/S0893-9659(97)00138-9

T. A. Burton, T. Furumochi, Krasnosel'skii fixed point theorem and stability, Nonlinear Anal., 49, 445–454 (2002). DOI: https://doi.org/10.1016/S0362-546X(01)00111-0

R. A. Horn, C. R. Johnson, Matrix analysis, Cambridge Univ. Press, Cambridge (1988).

M. A. Krasnosel'skii, Some problems of nonlinear analysis, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 10, 345–409 (1958). DOI: https://doi.org/10.1090/trans2/010/13

M. A. Krasnosel'skii, J. A. Lifshits, A. V. Sobolev, Positive linear systems, Heldermann Verlag, Berlin (1989).

M. A. Krasnosel'skii, G. M. Vainikko, P. P. Zabreiko, Y. B. Rutitskii, V. Y. Stetsenko, Approximate solutions of operator equations, Wolters-Noordhoff, Groningen (1972). DOI: https://doi.org/10.1007/978-94-010-2715-1

W. Leontief, Input-output economics, 2nd ed., Oxford Univ. Press, Oxford (1986).

L. Liu, Z. Li, Krasnosel'skii type fixed point theorems and applications, Proc. Amer. Math. Soc., 136, 1213–1220 (2008). DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-07-09190-3

D. O'Regan, Fixed point theory for the sum of two operators, Appl. Math. Lett., 9, 1–8 (1996). DOI: https://doi.org/10.1016/0893-9659(95)00093-3

V. M. Sehgal, S. P. Singh, On a fixed point theorem of Krasnosel'skii for locally convex spaces, Pacific J. Math., 62, 561–567 (1976). DOI: https://doi.org/10.2140/pjm.1976.62.561

E. K. Shah, M. Sarvar, D. Beleanu, Study of Krasnoselkii's fixed point theorem for Caputo–Fabrizio fractional differentional equations, Adv. Difference Equat., 2020, Article 178 (2020). DOI: https://doi.org/10.1186/s13662-020-02624-x

D. R. Smart, Fixed point theorems, Cambridge Univ. Press, Cambridge (1980).

L. Takács, Combinatorial methods in the theory of stochastic processes, John Wiley, New York (1967).

L. Takács, On the busy periods of single-server queues with Poisson input and general service times, Oper. Res., 24, № 3, 564–571 (1976). DOI: https://doi.org/10.1287/opre.24.3.564

F. Trèves, Topological vector spaces, distributions and kernels, Dover Publ., New York (2006).

F. Wang, F. Wang, Krasnosel'skii type fixed point theorem for nonlinear expansion, Fixed Point Theory, 13, 285–291 (2012). DOI: https://doi.org/10.1186/1687-1812-2012-107

W. K. Williams, V. Vijayakumar, R. Udhayakumar, K. S. Nisar, A new study on existence and uniqueness of nonlocal fractional delay differential systems of order $1, Numer. Methods Partial Different. Equat., 37, 949–961 (2021). DOI: https://doi.org/10.1002/num.22560

T. Xiang, R. Yuan, A class of expansive-type Krasnosel'skii fixed point theorems, Nonlinear Anal., 71, 3229–3239 (2009). DOI: https://doi.org/10.1016/j.na.2009.01.197

T. Xiang, R. Yuan, Critical type of Krasnosel'skii fixed point theorem, Proc. Amer. Math. Soc., 139, 1033–1044 (2011). DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-2010-10517-8

T. Xiang, R. Yuan, A note on Krasnosel'skii fixed point theorem, Fixed Point Theory and Appl., 2015, Article 99 (2015). DOI: https://doi.org/10.1186/s13663-015-0351-0