Періодична задача для рівняння типу Релея, не розв'язаного відносно похідної
Анотація
УДК 517.9
Знайдено конструктивні необхідні та достатні умови розв'язності і схему побудови розв'язків неавтономної нелінійної періодичної крайової задачі для рівняння типу Релея, не розв'язаного відносно похідної. Актуальність дослідження неавтономних крайових задач, не розв'язаних відносно похідної, пов'язана з тим, що вивчення традиційних задач, розв'язаних відносно похідної, іноді ускладнюється, наприклад у випадку отримання нелінійностей, не інтегровних в елементарних функціях. У статті розглянуто критичний випадок, коли рівняння для породжуючих амплітуд слабконелінійної періодичної крайової задачі для рівняння типу Релея не перетворюється на тотожність. Для знаходження конструктивних умов розв'язності та збіжних ітераційних схем побудови наближених розв'язків неавтономної нелінійної крайової задачі, не розв'язаної відносно похідної, використано метод найменших квадратів. Як приклад застосування запропонованої ітераційної схеми знайдено наближення до розв'язків періодичних крайових задач, не розв'язаних відносно похідної, у випадку періодичної задачі для рівняння, яке моделює рух супутника на еліптичній орбіті. Знайдено оцінку проміжку значень малого параметра, для якого збіжність ітераційної процедури для побудови розв'язків слабконелінійної періодичної крайової задачі для рівняння типу Релея, не розв'язаного відносно похідної, є збіжною. Для перевірки точності знайдених наближень оцінено нев'язки у рівнянні, яке моделює рух супутника на еліптичній орбіті.
Посилання
В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин, Справочник по нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям, Факториал, Москва (1997).
Ю. Д. Шлапак, О периодических решениях нелинейных уравнений второго порядка, не разрешенных относительно старшей производной, Укр. мат. журн., 26, № 6, 850–854 (1974).
A. M. Samoilenko, S. M. Chuiko, O. V. Nesmelova, Nonlinear boundary-value problems unsolved with respect to the derivative, Ukr. Math. J., 72, № 8, 1280–1293 (2021). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-020-01852-4
A. A. Boichuk, A. M. Samoilenko, Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems, 2nd ed., De Gruyter, Berlin, Boston (2016). DOI: https://doi.org/10.1515/9783110378443
А. П. Торжевский, Периодические решения уравнения плоских колебаний спутника на эллиптической орбите, Космические исслед., 2, № 5, 667–678 (1964).
S. M. Chuiko, O. V. Nesmelova (Starkova), Autonomous Noether boundary-value problems not solved with respect to the derivative, J. Math. Sci., 230, № 5, 799–803 (2018). DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-018-3793-1
D. Nuсez, P. J. Torres, Stable odd solutions of some periodic equations modeling satellite motion, J. Math. Anal., 279, № 2, 700–709 (2003). DOI: https://doi.org/10.1016/S0022-247X(03)00057-X
A. Cabada, A. J. A. Cid, On a class of singular Sturm–Liouville periodic boundary value problems, Nonlinear Anal. Real World Appl., 12, № 4, 2378–2384 (2011). DOI: https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2011.02.010
Л. В. Канторович, Г. П. Акилов, Функциональный анализ, Наука, Москва (1977).
S. M. Chuiko, To the generalization of the Newton–Kantorovich theorem, Visnyk V. N. Karazin Kharkiv Nat. Univ. Ser. Math., Appl. Math. and Mech., 85, № 1, 62–68 (2017).
Н. И. Ахиезер, Лекции по теории аппроксимации, Наука, Москва (1965).
S. M. Chuiko, On approximate solution of boundary value problems by the least square method, Nonlinear Oscillations, 11, № 4, 585–604 (2008). DOI: https://doi.org/10.1007/s11072-009-0053-9
И. Г. Малкин, Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, Гостехиздат, Москва (1956).
G. T. Gilbert, Positive definite matrices and Sylvester's criterion, Amer. Math. Monthly, 98, № 1, 44–46 (1991). DOI: https://doi.org/10.1080/00029890.1991.11995702
S. M. Chuiko, Domain of convergence of an iterative procedure for an autonomous boundary value problem, Nonlinear Oscillations, 9, № 3, 405–422 (2006). DOI: https://doi.org/10.1007/s11072-006-0053-y
S. Chuiko, Weakly nonlinear boundary value problem for a matrix differential equation, Miskolc Math. Notes, 17, № 1, 139–150 (2016). DOI: https://doi.org/10.18514/MMN.2016.1312
S. M. Chuiko, A. S. Chuiko, On the approximate solution of periodic boundary value problems with delay by the least-squares method in the critical case, Nonlinear Oscillations, 14, № 3, 445–460 (2012). DOI: https://doi.org/10.1007/s11072-012-0169-1
Г. В. Демиденко, С. В. Успенский, Уравнения и системы, не разрешенные относительно производной, Научная книга, Новосибирск (1998).
A. F. Filippov, Uniqueness of the solution of a system of differential equations unsolved for the derivatives, Different. Equat., 41, № 1, 90–95 (2005). DOI: https://doi.org/10.1007/s10625-005-0138-x
A. V. Arutyunov, E. S. Zhukovskii, S. E. Zhukovskii, On the well-posedness of differential equations unsolved for the derivative, Different. Equat., 47, № 11, 1541–1555 (2011). DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266111110012
С. М. Чуйко, О. В. Старкова, О. Е. Пирус, Нелинейные нетеровы краевые задачи, не разрешенные относительно производной, Динам. системы, 2(30), № 1-2, 169–186 (2012).
A. A. Boichuk, A. A. Pokutnyi, Perturbation theory of operator equations in the Frechet and Hilbert spaces, Ukr. Math. J., 67, № 6, 1327–1335 (2016). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-016-1156-y
О. А. Бойчук, О. А. Покутний, Нормально-розв’язнi крайовi задачi для операторно-диференцiальних рiвнянь, Наук. думка, Київ (2022). DOI: https://doi.org/10.37863/2843457491-61
Авторські права (c) 2023 Ольга Нєсмєлова, Сергій Чуйко
Для цієї роботи діють умови ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.
