On center graphs of finite associative rings

M. Jorf; L. Oukhtite

doi:10.3842/umzh.v76i5.7391

M. Jorf Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Sidi Mohamed Ben Abdellah University, Fez, Morocco
L. Oukhtite Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, Sidi Mohamed Ben Abdellah University, Fez, Morocco

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v76i5.7391

Анотація

УДК 512.5

Про центральні графи скінченних асоціативних кілець

Розглянуто скінченне асоціативне кільце $R,$ яке може мати або не мати одиничний елемент, та досліджено його центр, позначений як $Z(R).$ Основну увагу приділено введенню двох різних графів, пов'язаних з $R,$ а саме центрального графа, позначеного як $GC(R),$ і строго центрального графа, позначеного як $\overline{GC(R)}.$

Наведено властивості $GC(R)$ і досліджено їхні наслідки для природи $Z(R).$ Зокрема, показано, що у випадку, коли $GC(R)$ є повним, $Z(R)$ є ідеалом в $R.$ Навіть більше, у випадку, коли $R$ є унітарним кільцем, повнота $GC(R)$ приводить до висновку, що $R$ є комутативним кільцем.

Як конкретне застосування одержаних результатів наведено явну конструкцію графа $\overline{GC}(T_2(p)),$ де $T_2(p)$ — кільце верхньотрикутних матриць з елементами, що належать кільцю $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},$ а $p$ --- просте ціле число.

Досліджуючи центральний граф і строгий центральний граф, ми прагнемо пролити світло на властивості скінченних асоціативних кілець та їхніх центрів і отримати цінні висновки і застосування в теорії кілець.

Посилання

S. Akbari, M. Ghandehari, M. Hadian, A. Mohammadian, On commuting graphs of semisimple rings, Linear Algebra and Appl., 390, 345–355 (2004). DOI: https://doi.org/10.1016/j.laa.2004.05.001

S. Akbari, D. Kiani, F. Mohammadi, S. Moradi, The total graph and regular graph of a commutative ring, J. Pure and Appl. Algebra, 213, № 12, 2224–2228 (2009). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2009.03.013

S. Akbari, H. R. Maimani, S. Yassemi, When a zero-divisor graph is planar or a complete $r$-partite graph, J. Algebra, 270, № 1, 169–180 (2003). DOI: https://doi.org/10.1016/S0021-8693(03)00370-3

S. Akbari, A. Mohammadian, H. Radjavi, P. Raja, On the diameters of commuting graphs, Linear Algebra and Appl., 418, № 1, 161–176 (2006). DOI: https://doi.org/10.1016/j.laa.2006.01.029

D. F. Anderson, M. Axtell, J. Stickles, Zero-divisor graphs in commutative rings, Commutative Algebra: Noetherian and Non-Noetherian Perspectives, Springer (2010), p.~23–45. DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4419-6990-3_2

D. F. Anderson, A. Badawi, On the zero-divisor graph of a ring, Comm. Algebra, 36, № 8, 3073–3092 (2008). DOI: https://doi.org/10.1080/00927870802110888

D. F. Anderson, A. Badawi, The total graph of a commutative ring, J. Algebra, 320, № 7, 2706–2719 (2008). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2008.06.028

D. F. Anderson, P. S. Livingston, The zero-divisor graph of a commutative ring, J. Algebra, 217, 434–447 (1999). DOI: https://doi.org/10.1006/jabr.1998.7840

I. Beck, Coloring of commutative rings, J. Algebra, 116, № 1, 208–226 (1988). DOI: https://doi.org/10.1016/0021-8693(88)90202-5

N. Biggs, Algebraic graph theory (Cambridge Mathematical Library), 2nd ed., Cambridge Univ. Press, Cambridge (1993).

T. T. Chelvam, T. Asir, On the genus of the total graph of a commutative ring, Comm. Algebra, 41, № 1, 142–153 (2013). DOI: https://doi.org/10.1080/00927872.2011.624147

M. Habibi, E. Yetkın Çelıkel, C. Abdıoǧu, Clean graph of a ring, J. Algebra and Appl., 20, № 09, Article~2150156 (2021). DOI: https://doi.org/10.1142/S0219498821501565

B. R. Mcdonald, Finite rings with identity, Pure and Appl. Math., Ser. Monogr. and Textbooks (1974).

G. R. Omidi, E. Vatandoost, On the commuting graph of rings, J. Algebra and Appl., 10, № 03, 521–527 (2011). DOI: https://doi.org/10.1142/S0219498811004811

M. Shi, S. Li, J. Kim, P. Solé, LCD and ACD codes over a noncommutative non-unital ring with four elements, Cryptography and Commun., 14, 627–640 (2022). DOI: https://doi.org/10.1007/s12095-021-00545-4

R. Sobhani, Cyclic codes over a noncommutative finite chain ring, Cryptography and Commun., 10, 519–530 (2018). DOI: https://doi.org/10.1007/s12095-017-0238-5

V. I. Voloshin, Introduction to graph theory, Nova Sci. Publ. Inc., New York (2009).