Least-squares method in the theory of nonlinear boundary-value problems unsolved with respect to the derivative

P.  Benner; S.  Chuiko; O.  Nesmelova

doi:10.37863/umzh.v75i1.7408

P. Benner Інститут динаміки складних технічних систем ім. Макса Планка, Магдебург, Німеччина https://orcid.org/0000-0003-3362-4103
S. Chuiko Донбаський державний педагогічний університет, Україна, Донецька обл., м. Слов’янськ, та Інститут динаміки складних технічних систем ім. Макса Планка, Магдебург, Німеччина https://orcid.org/0000-0001-7186-0129
O. Nesmelova Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецька обл., м. Слов'янськ

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v75i1.7408

Ключові слова: Нелінійна крайова задача, не розв’язана відносно похідної; метод найменших квадратів; конструктивні необхідні й достатні умови розв'язності; збіжна ітераційна схема

Анотація

УДК 517.9

Метод найменших квадратів у теорії нелінійних крайових задач, не розв'язаних щодо похідної

Встановлено конструктивні необхідні й достатні умови розв’язності та схему побудови розв’язків для нелінійної крайової задачі, не розв’язаної щодо похідної. Запропоновано збіжні ітераційні схеми для знаходження наближених розв'язків цієї задачі. Як приклад застосування запропонованої ітераційної схеми знайдено наближення до розв’язків періодичних крайових задач для рівняння типу Релея, не розв’язаного щодо похідної, зокрема, у випадку періодичної задачі для рівняння, що описує рух супутників на еліптичних орбітах.

Посилання

A. A. Boichuk, A. M. Samoilenko, Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems, De Gruyter, Berlin, Boston (2016). DOI: https://doi.org/10.1515/9783110378443

Yu. D. Shlapak, Periodic solutions of nonlinear second-order equations which are not solved for the highest derivative, Ukrainian Math. J., 26, № 6, 850–854 (1974); https://doi.org/10.1007/BF01085271. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01085271

A. M. Samoilenko, S. M. Chuiko, O. V. Starkova, Nonlinear boundary-value problem that is not solved with respect to the derivative, Ukrainian Math. J., 72, № 8, 1280–1293 (2021); https://doi.org/10.1007/s11253-020-01852-4. DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-020-01852-4

A. P. Torzhevsky, Periodic solutions of the equation of planar oscillations of a satellite in an elliptical orbit, Cosmic Res., 2, № 5, 667–678 (1964) (in Russian).

S. M. Chuiko, O. V. Starkova, O. Ye. Pirus, Nonlinear Noetherian boundary-value problems unsolved with respect to the derivative, Dyn. Syst., 2(30), № 1-2, 169–186 (2012) (in Russian).

S. M. Chuiko, A. S. Chuiko, O. V. Starkova, Periodic boundary value problem of Lienard type unresolved with respect to derivative in critical case, Proc. Inst. Appl. Math. and Mech. NAS Ukraine, 29, 157–171 (2015) (in Russian).

I. G. Malkin, Some problems of the theory of nonlinear vibrations, Gostekhizdat, Moskow (1956) (in Russian).

S. M. Chuiko, A weakly nonlinear boundary-value problem in a particular critical case, Ukrainian Math. J., 61, № 4, 657 (2009); https://doi.org/10.1007/s11253-009-0227-8. DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-009-0227-8

N. I. Akhiezer, Lectures on approximation theory, Nauka, Moskow (1965) (in Russian).

S. M. Chuiko, On approximate solution of boundary-value problems by the least square method, Nonlinear Oscillations, 11, № 4, 585–604 (2008); https://doi.org/10.1007/s11072-009-0053-9. DOI: https://doi.org/10.1007/s11072-009-0053-9

G. T. Gilbert, Positive definite matrices and Sylvester's criterion, Amer. Math. Monthly, 98, № 1, 44–46 (1991); https://doi.org/10.1080/00029890.1991.11995702. DOI: https://doi.org/10.1080/00029890.1991.11995702

L. V. Kantorovich, G. P. Akilov, Functional analysis, Nauka, Moskow (1977) (in Russian).

D. K. Lika, Yu. A. Ryabov, Iteration methods and major Lyapunov equations in nonlinear oscillation theory, Stinica, Chisinau (1974) (in Russian).

S. M. Chuiko, Domain of convergence of an iterative procedure for an autonomous boundary-value problem, Nonlinear Oscillations, 9, № 3, 405–422 (2006); https://doi.org/10.1007/s11072-006-0053-y. DOI: https://doi.org/10.1007/s11072-006-0053-y

S. Chuiko, Weakly nonlinear boundary value problem for a matrix differential equation, Miskolc Math. Notes, 17, № 1, 139–150 (2016); https://doi.org/10.18514/MMN.2016.1312. DOI: https://doi.org/10.18514/MMN.2016.1312

S. M. Chuiko, A. S. Chuiko, On the approximate solution of periodic boundary-value problems with delay by the least-squares method in the critical case, Nonlinear Oscillations, 14, № 3, 445–460 (2012); https://doi.org/10.1007/s11072-012-0169-1. DOI: https://doi.org/10.1007/s11072-012-0169-1

S. M. Chuiko, Nonlinear matrix differential-algebraic boundary value problem, Lobachevskii J. Math., 38, 236–244 (2017); https://doi.org/10.1134/S1995080217020056. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080217020056

G. V. Demidenko, S. V. Uspensky, Equations and systems unsolved with respect to the derivative, Nauchnaya Kniga, Novosibirsk (1998) (in Russian).

A. F. Filippov, Uniqueness of the solution of a system of differential equations unsolved for the derivatives, Different. Equat., 41, № 1, 90–95 (2005); https://doi.org/10.1007/s10625-005-0138-x. DOI: https://doi.org/10.1007/s10625-005-0138-x

A. V. Arutyunov, E. S. Zhukovskii, S. E. Zhukovskii, On the well-posedness of differential equations unsolved for the derivative, Different. Equat., 47, № 11, 1541–1555 (2011); https://doi.org/10.1134/S0012266111110012. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266111110012

P. Benner, A. Seidel-Morgenstern, A. Zuyev, Periodic switching strategies for an isoperimetric control problem with application to nonlinear chemical reactions, Appl. Math. Model., 69, 287–300 (2019); https://doi.org/10.1016/ j.apm.2018.12.005. DOI: https://doi.org/10.1016/j.apm.2018.12.005

P. Benner, S. Chuiko, A. Zuyev, A periodic boundary value problem with switchings under nonlinear perturbations, Preprint; https://doi.org/10.21203/rs.3.rs-2239596/v1. DOI: https://doi.org/10.21203/rs.3.rs-2239596/v1