Скінченні ланцюгові $A_2$-дроби в задачах раціональних наближень дійсних чисел:

Микола Працьовитий; Яніна Гончаренко; Ірина Лисенко; Софія Ратушняк

doi:10.37863/umzh.v75i6.7413

Микола Працьовитий Інститут математики НАН України, Київ; Український державний університет імені Михайла Драгоманова, Київ
Яніна Гончаренко Український державний університет імені Михайла Драгоманова, Київ
Ірина Лисенко Український державний університет імені Михайла Драгоманова, Київ
Софія Ратушняк Інститут математики НАН України, Київ; Український державний університет імені Михайла Драгоманова, Київ

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v75i6.7413

Ключові слова: Ланцюговий $A_2$-дріб, $A_2$-зображення числа, $A_2$-бінарне число, циліндр, основне метричне відношення, підхідний дріб, нормальна властивість числа, автомодельність множини, раціональне наближення

Анотація

УДК 511.7+517.5

Розглядаються скінченні ланцюгові дроби, елементами яких є числа $\dfrac{1}{2}$ і $1$ (так звані ланцюгові $A_2$-дроби): $1/a_1+1/a_2+\ldots+1/a_n=[0;a_1,a_2,\ldots,a_n],$ $a_i\in A_2=\left\{\dfrac{1}{2},1\right\}.$ Вивчається структура множини $F$ значень усіх таких дробів, а також питання про кількість зображень чисел з відрізка $\left[\dfrac{1}{2};1\right]$ такими дробами. Доведено, що множина $F\subset\left[\dfrac{1}{3};2\right]$ має автомодельну структуру і є щільною у відрізку $\left[\dfrac{1}{2};1\right]$; множина її елементів, більших $1,$ є множиною членів двох спадних послідовностей, збіжних до $1,$ а менших $\dfrac{1}{2}$ – множиною членів двох зростаючих послідовностей, збіжних до $\dfrac{1}{2}.$ Акцентовано увагу на принципову відмінність зображень чисел скінченними та нескінченними $A_2$-дробами. Сформульовано гіпотетичне твердження: кожне раціональне число відрізка $\left[\dfrac{1}{2};1\right]$ має зображення скінченним ланцюговим $A_2$-дробом.

Посилання

S. Albeverio, Y. Kulyba, M. Pratsiovytyi, G. Torbin, On singularity and fine spectral structure of random continued fractions, Math. Nachr., 288, 1803–1813 (2015); DOI: 10.1002/mana.201500045. DOI: https://doi.org/10.1002/mana.201500045

A. Denjoy, Compláment à la notice publièe en 1934 sur les travaux scientifiques de M. Arnaud Denjoy, Hermann, Paris (1942).

S. O. Dmytrenko, D. V. Kyurchev, M. V. Prats'ovytyi, $A_2$-continued fraction representation of real numbers and its geometry, Ukr. Math. J., 61, № 4, 541–555 (2009); https://doi.org/10.1007/s11253-009-0236-7. DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-009-0236-7

W. B. Jones, W. J. Thron, Continued fractions: analytic theory and applications, Cambridge Univ. Press (1984). DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9780511759550

M. Pratsiovytyi, D. Kyurchev, Properties of the distribution of the random variable defined by $A_2$-continued fraction with independent elements, Random Oper. and Stoch. Equat., 17, № 1, 91–101 (2009). DOI: https://doi.org/10.1515/ROSE.2009.006

M. V. Pratsiovytyi, A. S. Chuikov, Continuous distributions whose functions preserve tails of $A$-continued fraction representation of numbers, Random Oper. and Stoch. Equat., 27, № 3, 199–206 (2019). DOI: https://doi.org/10.1515/rose-2019-2017

M. V. Pratsiovytyi, O. P. Makarchuk, A. S. Chuikov, Approximation and estimates in the periodic representation of real numbers of the closed interval $[0,5;1]$ by $A_2$-continues fractions, J. Numer. and Appl. Math., № 1(130), 71–83 (2019).

M. V. Pratsiovytyi, Ya. V. Goncharenko, N. V. Dyvliash, S. P. Ratushniak, Inversor of digits of $Q_2^*$-representation of numbers, Mat. Stud., 55, № 1, 37–43 (2021). DOI: https://doi.org/10.30970/ms.55.1.37-43

M. V. Pratsiovytyi, Ya. V. Goncharenko, I. M. Lysenko, S. P. Ratushniak, Fractal functions of exponential type that is generated by the $Q_2^*$-representation of argument, Mat. Stud., 56, № 2, 133–143 (2021). DOI: https://doi.org/10.30970/ms.56.2.133-143

M. V. Pratsiovytyi, Y. V. Goncharenko, I. M. Lysenko, S. P. Ratushniak, Continued $A_2$-fractions and singular functions, Mat. Stud., 58, № 1, 3–12 (2022); DOI: 10.30970/ms.58.1. DOI: https://doi.org/10.30970/ms.58.1.3-12

M. V. Pratsiovytyi, Singularity of distributions of random variables given by distributions of elements of the corresponding continued fraction, Ukr. Mat. Zh., 48, № 8, 1086–1095 (1996). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02383869

О. І. Бородін, Теорія чисел, Вища шк., Київ (1970).

М. Кац, Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел, Изд-во иностр. лит., Москва (1963). 14. М. В. Працьовитий, Двосимвольні системи кодування дійсних чисел та їх застосування, Наук. думка, Київ (2022).

М. В. Працьовитий, Фрактальний підхід у дослідженнях сингулярних розподілів, НПУ ім. М. П. Драгоманова, Київ (1998).

М. В. Працьовитий, Т. В. Ісаєва, Фрактальні функції, пов'язані з $Delta^{mu}$-зображенням чисел, Буковин. мат. журн., 3, № 3–4, 160–169 (2015).

М. В. Працьовитий, А. С. Чуйков, Неперервна ніде не монотонна функ-ція, означена в термінах нега-трійкових і ланцюгових $A_2$-дробів, Зб. праць Ін-ту математики НАН України, 15, № 1, 147–161 (2018). DOI: https://doi.org/10.3738/1982.2278.2863