On Bloom-type characterizations of the higher-order commutators of Marcinkiewicz integrals

Анотація

УДК 517.9

Про характеристики типу Блума комутаторів вищого порядку інтегралів Марцинкевича

Нехай $\Omega$ є однорідною нульового степеня, має нульове середнє значення та інтегровна на одиничній сфері.  Для $m\in \Bbb N$ нехай $b\in L_{\rm loc}^1(\Bbb R^n),$ а комутатор вищого порядку інтеграла Марцинкевича $\mu_{\Omega,b} ^m$ визначається тaким чином: \begin{gather*}\mu_{\Omega,b}^{m}(f)(x)=\left(\,\int\limits_{0}^{\infty}\,\left|\,\,\int\limits_{|x-y| \leq t} \frac{\Omega(x-y)}{|x-y|^{n-1}}[b(x)-b(y)]^{m}f(y) dy\right|^{2} \frac{d t}{t^{3}}\right)^{\frac{1}{2}}. \end{gather*} Отримано розріджене домінування $\mu_{\Omega,b}^{m}$ при умові, що $\Omega\in {\rm Lip}(\mathbb{S}^{n-1})$.  Крім того, наведено характеристики типу Блума для двовагової обмеженості  комутаторів вищого порядку $\mu_{\Omega,b}^{m}, \mu_{\Omega,\alpha,b}^{*,m }, \mu_{\Omega,S,b}^{m}$, де комутатори вищого порядку $ \mu_{\Omega,\alpha,b}^{*,m}$ і $\mu_{\Omega,S, b}^{m}$ визначаються, відповідно, таким чином: \begin{gather*}\mu_{\Omega,\alpha,b}^{*,m}(f)(x)=\left(\,\,\iint\limits_{\mathbb{R}_{+}^{n+1}}\left(\frac{t}{t+|x-y|}\right)^{n\alpha}\left|\,\int\limits_{|y-z| \leq t} \frac{\Omega(y-z)}{|y-z|^{n-1}}[b(x)-b(z)]^{m}f(z) dz\right|^{2}\frac{dydt}{t^{n+3}}\right)^{\frac{1}{2}},\quad \alpha>1,\end{gather*} і \begin{gather*}\mu_{\Omega,S,b}^{m}(f)(x)=\left(\,\,\,\iint\limits_{|x-y|<t}\left|\,\int\limits_{|y-z| \leq t} \frac{\Omega(y-z)}{|y-z|^{n-1}}[b(x)-b(z)]^{m}f(z) dz\right|^{2}\frac{dydt}{t^{n+3}}\right)^{\frac{1}{2}}.\end{gather*}