Extended total graph associated to finite commutative rings
Анотація
УДК 512.5
Розширений тотальний граф, асоційований зі скінченними комутативними кільцями
Нехай $Z(R)$ позначає множину дільників нуля для комутативного кільця $R$ з відмінною від нуля тотожністю $1\neq 0.$ Повний граф кільця $R$, який ми позначаємо $T_{\Gamma}(R)$, є простим графом, в якому всі елементи $R$ є вершинами, а дві різні вершини $x$ і $y$ суміжні тоді і тільки тоді, коли $x+y\in Z(R)$. У цій статті ми визначаємо розширення тотального графа, який ми позначаємо $T(\Gamma^{e}(R))$ і який має вершину $Z(R),$ а дві різні вершини $x$ і $ y$ суміжні тоді і тільки тоді, коли $x+y\in Z^*(R)$, де $Z^{*}(R)$ --- набір ненульових дільників нуля в $R$. Основною метою статті є характеристика скінченних комутативних кілець, у яких $T(\Gamma^{e}(R))$ має клікові числа $1,$ $2$ і $3$. Крім того, охарактеризовано скінченні комутативні нелокальні кільця $R$, відповідний граф $T(\Gamma^{e}(R))$ яких має клікове число $4.$
Посилання
D. F. Anderson, Ayman Badawi, The total graph of a commutative ring, J. Algebra, 320, № 7, 706–2719 (2008). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2008.06.028
D. F. Anderson, P. S. Livingston, The zero-divisor graph of a commutative ring, J. Algebra, 217, 434–447 (1999). DOI: https://doi.org/10.1006/jabr.1998.7840
T. Asir, T. Tamizh Chelvam, On the toal graph and its complement of a commutative ring, Comm. Algebra, 41, № 10, 3820–3835 (2013). DOI: https://doi.org/10.1080/00927872.2012.678956
I. Beck, Coloring of a commutative rings, J. Algebra, 116, 208–226 (1988). DOI: https://doi.org/10.1016/0021-8693(88)90202-5
D. Bennis, J. Mikram, F. Taraza, On the extended zero divisor graph of commutative rings, Turkish J. Math., 40, № 2, Article 12 (2016). DOI: https://doi.org/10.3906/mat-1504-61
A. Cherrabi, H. Essannouni, E. Jabbouri, A. Ouadfel, On a new extension of the zero-divisor graph, Algebra Colloq., 27, № 3, 469–476 (2020). DOI: https://doi.org/10.1142/S1005386720000383
A. Cherrabi, H. Essannouni, E. Jabbouri, A. Ouadfel, On a new extension of the zero-divisor graph (II), Beitr Algebra und Geom., 62, 945–953 (2021). DOI: https://doi.org/10.1007/s13366-020-00559-8
D. S. Dummit, R. M. Foote, Abstract algebra, vol.~3, Wiley Hoboken (2004).
Qiong Liu, Tongsuo Wu, Ji. Guo, Finite rings whose graphs have clique number less than five, Algebra Colloq., 28, № 3, 533–540 (2021). DOI: https://doi.org/10.1142/S1005386721000419
Qiong Liu, Tongsuo Wu, Ji. Guo, On finite local rings with clique number four, Algebra Colloq., 29, № 1, 23–38 (2022). DOI: https://doi.org/10.1142/S1005386722000037
I. Kaplansky, Commutative rings, Univ. Chicago Press, Chicago, London (1974).
S. Pirzada, An introduction to graph theory, Univ. Press, Orient Blakswan, Hyderabad (2012).
S. Pirzada, A. Altaf, Cliques in the extended zero-divisor graph of finite commutative rings, Commun. Combin. and Optim. (to appear); https://doi.org/10.22049/cco.2023.28740.1693.
S. Pirzada, A. Altaf, Co-unit graphs associated to ring of integers modulo $n$, Acta Univ. Sapientiae Math., 14, № 2, 98–106 (2022). DOI: https://doi.org/10.2478/ausm-2022-0020
S. Pirzada, A. Ahmad, On graphs with same metric and upper dimension, Discrete Math., Algorithms and Appl., 13, № 2, Article ID 2150015 (2021). DOI: https://doi.org/10.1142/S1793830921500154
S. P. Redmond, On zero-divisor graphs of small finite commutative rings, Discrete Math., 307, 1155–1166 (2007).
S. P. Redmond, Corrigendum to ``On zero-divisor graphs of small finite commutative rings'', Discrete Math., 307, 1155–1166 (2007). DOI: https://doi.org/10.1016/j.disc.2006.07.025
Yanzhao Tian, Lixiang Li, Comments on the clique number of zero-divisor graphs of $Z_{n}$, J. Math., Article ID 6591317 (2022). DOI: https://doi.org/10.1155/2022/6591317
Авторські права (c) 2024 Shariefuddin Pirzada
Для цієї роботи діють умови ліцензії Creative Commons Attribution 4.0 International License.
