Нормальні властивості чисел у термінах їхнього зображення рядами Перрона

Анотація

УДК 511.7

Вивчаються зображення чисел рядами Перрона ($P$-зображення) $$(0;1]\ni x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{r_0 r_1\ldots r_n}{(p_1-1)p_1\ldots(p_n-1)p_n p_{n+1}}={\Delta}_{p_1 p_2\ldots}^P,\quad\mbox{де}\quad r_n,p_n\in\mathbb{N},\quad p_{n+1}\geq r_n+1,$$ та його перекодування ($\overline{P}$-зображення) $$x=\Delta_{ g_1 g_2 \ldots } ^{\overline{P}},\quad\mbox{де}\quad g_n=p_n-r_{n-1}.$$ Знайдено властивості $\overline{P}$-зображення, які мають майже всі в розумінні міри Лебега числа (нормальні властивості зображень чисел). Вивчаються умови існування у $\overline{P}$-зображенні числа $x=\Delta_{ g_1 g_2\ldots g_n\ldots}^{\overline{P}}$ частоти цифри $i,$ яка означується рівністю $$\nu_i^{\overline{P}}(x)=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{N^{\overline{P}}_i(x,k)}{k},$$ де $N^{\overline{P}}_i(x,k)$ – кількість номерів $n$ таких, що $g_n=i$ та $n\leq k.$ Зокрема, встановлено умови, за яких частота $\nu_i^{\overline{P}}(x)$ існує й однакова для майже всіх $x\in(0;1].$ Також знайдено умови, за яких цифри у $\overline{P}$-зображенні зустрічаються скінченну (нескінченну) кількість разів для майже всіх чисел з $(0;1].$