Централізатори лінійних і локально нільпотентних диференціювань

Леонід Бедратюк; Анатолій Петравчук; Євген Чаповський

doi:10.3842/umzh.v75i8.7529

Леонід Бедратюк Хмельницький нацiональний унiверситет
Анатолій Петравчук Київський національний університет імені Тараса Шевченка
Євген Чаповський Київський національний університет імені Тараса Шевченка

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v75i8.7529

Ключові слова: алгебра Лі, локально нільпотентне диференціювання, базисне диференціювання Вейтценбека, централізатор, kядро диференціювання

Анотація

УДК 512.715, 512.554.31

Нехай $\mathbb{K}$ – алгебраїчно замкнене поле характеристики нуль, $\mathbb{K}[x_1,\ldots,x_n]$ – алгебра многочленів, а $W_n(\mathbb{K})$ – алгебра Лі всіх $\mathbb K$-диференціювань на $\mathbb{K}[x_1,\ldots,x_n].$ Для довільного диференціювання $D$ з лінійними компонентами описано централізатор $D$ в $W_n(\mathbb{K})$ і запропоновано алгоритм знаходження його твірних як модуля над кільцем сталих диференціювання $D$ у випадку, коли $D$ є базовим диференціюванням Вейтценбека. У більш загальному випадку, коли замість алгебри многочленів $\mathbb{K}[x_1,\ldots,x_n]$ розглядається скінченнопороджена область цілісності $A$ над полем $\mathbb{K}$ і $D$ є локально нільпотентним диференціюванням на $A,$ доведено, що централізатор ${\rm C}_{{\rm Der} A}(D)$ диференціювання $D$ в алгебрі Лі ${\rm Der} A$ всіх $\mathbb K$-диференціювань на $A$ є ,,великою'' підалгеброю в ${\rm Der} A,$ а саме ранг $ {\rm C}_{{\rm Der} A}(D)$ над $A$ дорівнює степеню трансцендентності поля часток $\mathrm{Frac} (A)$ над полем $\mathbb K.$

Посилання

L. P. Bedratyuk, Kernels of derivations of polynomial rings and Casimir elements, Ukr. Math. J., 62, № 4, 495–517 (2010). DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-010-0367-x

Y. Chapovskyi, D. Efimov, A. Petravchuk, Centralizers of elements in Lie algebras of vector fields with polynomial coefficients, Proc. Int. Geom. Cent., 14, № 4, 257–270 (2021). DOI: https://doi.org/10.15673/tmgc.v14i4.2153

D. R. Finston, S. Walcher, Centralizers of locally nilpotent derivations, J. Pure and Appl. Algebra, 120, № 1, 39–49 (1997). DOI: https://doi.org/10.1016/S0022-4049(96)00064-3

G. Freudenburg, Algebraic theory of locally nilpotent derivations, Encyclopedia Math. Sci., vol. 136, Springer, Berlin (2006).

F. R. Gantmacher, The theory of matrices, vols. 1, 2, Chelsea Publ. Co., New York (1959).

J. E. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Grad. Texts in Math., vol. 9, Springer, New York (1972). DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-6398-2

M. Miyanishi, Normal affine subalgebras of a polynomial ring, Algebraic and Topological Theories (Kinosaki, 1984), Kinokuniya, Tokyo (1986), p.~37–51.

J. Nagloo, A. Ovchinnikov, P. Thompson, Commuting planar polynomial vector fields for conservative Newton systems, Commun. Contemp. Math., 22, № 4, Article~1950025 (2020). DOI: https://doi.org/10.1142/S0219199719500251

A. Nowicki, M. Nagata, Rings of constants for $k$-derivations in $k[x_1,... , x_n]$, J. Math. Kyoto Univ., 28, № 1, 111–118 (1988). DOI: https://doi.org/10.1215/kjm/1250520561

D. I. Panyushev, Two results on centralisers of nilpotent elements, J. Pure and Appl. Algebra, 212, № 4, 774–779 (2008). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2007.07.003

A. P. Petravchuk, O. G. Iena, On centralizers of elements in the Lie algebra of the special Cremona group $SA_2(k)$, J. Lie Theory, 16, № 3, 561–567 (2006).

R. Weitzenböck, Über die Invarianten von linearen Gruppen, Acta Math., 58, № 1, 231–293 (1932). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02547779