On index divisors and monogenity of certain octic number fields defined by $x^8+ax^3+b$

Omar Kchit

doi:10.3842/umzh.v76i7.7536

Omar Kchit Graduate Normal school of Fez, Sidi Mohamed Ben Abdellah University, Morocco

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v76i7.7536

Анотація

УДК 511

Про індексні дільники та моногенність деяких полів октичних чисел, що задані формулою $x^8+ax^3+b$

Для довільного октичного числового поля $K$, породженого коренем $\alpha$ монічного незвідного тричлена $F(x)=x^8+ax^3+b \in \mathbb{Z}[x],$ і для кожного раціонального простого $p$ показано, коли $p$ ділить індекс $K$. Також описано розклад індексу $i(K)$ за простими степенями. Таким чином, дано часткову відповідь на {проблему $22$} Наркевича [Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Springer-Verlag, Auflage (2004)] для цієї сім'ї числових полів. Як застосування одержаних результатів, зроблено висновок, що якщо $i(K)\neq1,$ то $K$ не є моногенним. Отримані результати проілюстровано деякими обчислювальними прикладами.

Посилання

H. Cohen, A course in computational algebraic number theory, GTM, 138, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg (1993). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-02945-9

C. T. Davis, B. K. Spearman, The index of a quartic field defined by a trinomial $x^4+ax+b$, J. Algebra and Appl., 17, № 10, 185–197 (2018). DOI: https://doi.org/10.1142/S0219498818501979

R. Dedekind, Über den Zusammenhang zwischen der Theorie der Ideale und der Theorie der höheren Kongruenzen, Göttingen Abhandlungen, 23, 1–23 (1878).

L. El Fadil, On common index divisors and monogenity of certain number fields defined by $x^5+ax^2+b$, Comm. Algebra, 50, № 7, 3102–3112 (2022). DOI: https://doi.org/10.1080/00927872.2022.2025820

L. El Fadil, On the index divisors and monogenity of number fields defined $x^5+ax^3+b$, Quaest., 1–11 (2023); DOI: 10.2989/16073606.2022.2156000.

L. El Fadil, I. Gaál, On non-monogenity of certain number fields defined by trinomials $x^4+ax^2+b$ (2022); arXiv:2204.03226. DOI: https://doi.org/10.1515/ms-2023-0063

L. El Fadil, O. Kchit, On index divisors and monogenity of certain {sextic} number fields defined by $x^6+ax^5+b$, Vietnam J. Math. (2024); https://doi.org/10.1007/s10013-023-00679-3. DOI: https://doi.org/10.1007/s10013-023-00679-3

L. El Fadil, O. Kchit, On index divisors and monogenity of certain septic number fields defined by $x^7+ax^3+b$, Comm. Algebra, 1–15 (2022); DOI: 10.1080/00927872.2022.2159035. DOI: https://doi.org/10.5269/bspm.62352

L. El Fadil, J. Montes, E. Nart, Newton polygons and $p$-integral bases of quartic number fields, J. Algebra and Appl., 11, № 4, Article 1250073 (2012). DOI: https://doi.org/10.1142/S0219498812500739

A. J. Engler, Prestel, Valued fields, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg (2005).

H. T. Engstrom, On the common index divisor of an algebraic number field, Trans. Amer. Math. Soc., 32, 223–237 (1930). DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1930-1501535-0

I. Gaál, A. Pethö, M. Pohst, On the indices of biquadratic number fields having Galois group $V_4$, Arch. Math., 57, 357–361 (1991). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01198960

J. Guàrdia, J. Montes, E. Nart, Newton polygons of higher order in algebraic number theory, Trans. Amer. Math. Soc., 364, № 1, 361–416 (2012). DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-2011-05442-5

K. Hensel, Arithmetische Untersuchungen über die gemeinsamen ausserwesentlichen Discriminantentheiler einer Gattung, J. reine und angew. Math., 113, 128–160 (1894); DOI: 10.1515/crll.1894.113.128. DOI: https://doi.org/10.1515/crll.1894.113.128

T. Nakahara, On the indices and integral bases of non-cyclic but Abelian biquadratic fields, Arch. Math., 41, № 6, 504–508 (1983). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01198579

W. Narkiewicz, Elementary and analytic theory of algebraic numbers, Springer-Verlag, Auflage (2004). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-07001-7

E. Nart, On the index of a number field, Trans. Amer. Math. Soc., 289, 171–183 (1985). DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1985-0779058-2

J. Neukirch, Algebraic number theory, Springer-Verlag, Berlin (1999). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-03983-0

J. Śliwa, On the nonessential discriminant divisor of an algebraic number field, Acta Arith., 42, 57–72 (1982). DOI: https://doi.org/10.4064/aa-42-1-57-72