Dynamical behavior of rational difference equation $x_{n+1}=\dfrac{x_{n-13}}{\pm1\pm x_{n-1}x_{n-3}x_{n-5}x_{n-7}x_{n-9} x_{n-11}x_{n-13}}$

D. Şimşek; B. Oğul; F. G. Abdullayev

doi:10.3842/umzh.v76i7.7548

D. Şimşek Konya Technical University, Turkey
B. Oğul Istanbul Aydin University, Turkey
F. G. Abdullayev Mersin University, Turkey and Kyrgyz–Turkish Manas University, Bishkek, Kyrgyz Republic

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v76i7.7548

Анотація

УДК 517.9

Динамічна поведінка раціонального різницевого рівняння $x_{n+1}=\dfrac{x_{n-13}}{\pm1\pm x_{n-1}x_{n-3}x_{n-5}x_{n-7}x_{n-9} x_{n-11}x_{n-13}}$

Системи з дискретним часом іноді використовуються для пояснення природних явищ, що зустрічаються в нелінійних науках. У цій статті ми вивчаємо періодичність, обмеженість, коливання, стійкість та деякі точні розв'язки нелінійних різницевих рівнянь. Точні розв'язки отримано з використанням стандартного ітераційного методу. Деякі відомі теореми використовуються для перевірки стійкості точок рівноваги. Також наведено кілька числових прикладів, які підтверджують достовірність теоретичних результатів. Числові розрахунки реалізовано за допомогою системи Wolfram Mathematica. Наведений метод може бути легко застосований до розв'язку інших раціональних рекурсивних задач.

У цій статті ми досліджуємо динаміку дотримання формули раціональних різниць \begin{equation*}x_{n+1}=\frac{x_{n-13}}{\pm1\pm x_{n-1}x_{n-3}x_{n-5}x_{n-7}x_{n-9} x_{n-11}x_{n-13}},\end{equation*} де ініціали – довільні ненульові дійсні числа.

Посилання

M. A. E. Abdelrahman, O. Moaaz, On the new class of the nonlinear rational difference equations, Electron. J. Math. Anal. and Appl., 6, № 2, 117–125 (2018).

R. P. Agarwal, E. M. Elsayed, On the solution of fourth-order rational recursive sequence, Adv. Stud. Contemp. Math., 20, № 2, 525–545 (2010).

A. M. Ahmed, A. M. Samir, L. S. Aljoufi, Expressions and dynamical behavior of solutions of a class of rational difference equations of fifteenth-order, J. Math. Comput. Sci., 25, 10–22 (2022). DOI: https://doi.org/10.22436/jmcs.025.01.02

H. S. Alayachi, M. S. M. Noorani, A. Q. Khan, M. B. Almatrafi, Analytic solutions and stability of sixth order difference equations, Math. Probl. Eng., 2020, Article ID 1230979, 12–23 (2020). DOI: https://doi.org/10.1155/2020/1230979

M. B. Almatrafi, M. M. Alzubaidi, Analysis of the qualitative behaviour of an eighth-order fractional difference equation, Open J. Discrete Appl. Math., 2, № 1, 41–47 (2019). DOI: https://doi.org/10.30538/psrp-odam2019.0010

A. M. Amleh, G. A. Grove, G. Ladas, D. A. Georgiou, On the recursive sequence $x_{n+1}=α + dfrac{x_{n-1}}{x_{n}}$, J. Math. Anal. and Appl., 233, 790–798 (1999). DOI: https://doi.org/10.1006/jmaa.1999.6346

C. Cinar, T. Mansour, I. Yalcinkaya, On the difference equation of higher order, Utilitas Math., 92, 161–166 (2013).

R. DeVault, G. Ladas, S. W. Schultz, On the recursive sequence $x_{n+1}=dfrac{A}{x_{n}}+dfrac{1}{x_{n-2}}$, Proc. Amer. Math. Soc., 126, № 11, 3257–3261 (1998). DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-98-04626-7

S. Elaydi, An introduction to difference equations, 3rd ed., Springer (2005).

E. M. Elsayed, On the difference equation $x_{n+1}=dfrac{x_{n-5}}{-1+x_{n-2}x_{n-5}}$, Int. J. Contemp. Math. Sci., 3, № 33, 1657–1664 (2008).

E. M. Elsayed, M. M. Alzubaidi, Expressions and dynamical behavior of rational recursive sequences, Int. J. Comput. Anal. and Appl., 28, № 1, 67–79 (2020).

A. Gelisken, On a system of rational difference equations, J. Comput. Anal. and Appl., 23, № 4, 593–606 (2017).

C. H. Gibbons, M. R. S. Kulenovic, G. Ladas, On the recursive sequence $dfrac{α+β x{n-1}}{ξ+β x{n-1}}$, Math. Sci. Res. Hot-Line, 4, № 2, 1–11 (2000).

T. F. Ibrahim, Behavior of some higher order nonlinear rational partial difference equations, J. Egyptian Math. Soc., 24, № 4, 532–537 (2016). DOI: https://doi.org/10.1016/j.joems.2016.03.004

T. F. Ibrahim, A. Q. Khan, B. Ogul, D.Şimşek, Closed-form solution of a rational difference equation, Math. Probl. Eng. (2021). DOI: https://doi.org/10.1155/2021/3168671

R. Karatas, C. Cinar, D. Simsek, On positive solutions of the difference equation $x_{n+1}=dfrac{x_{n-5}}{1+x_{n-2}x_{n-5}}$, Int. J. Contemp. Math. Sci., 10, № 1, 495–500 (2006). DOI: https://doi.org/10.12988/ijcms.2006.06055

O. Karpenko, O. Stanzhytskyi, The relation between the existence of bounded solutions of differential equations and the corresponding difference equations, J. Difference Equat. and Appl., 19, № 12, 1967–1982 (2013); DOI: https://doi.org/10.1080/10236198.2013.794795

https://doi.org/ 10.1080/10236198.2013.794795.

M. Bohner, O. Karpenko, O. Stanzhytskyi, Oscillation of solutions of second-order linear differential equations and corresponding difference equations, J. Difference Equat. and Appl., 20, № 7, 1112–1126 (2014); https://doi.org/ 10.1080/10236198.2014.893297. DOI: https://doi.org/10.1080/10236198.2014.893297

V. L. Kocic, G. Ladas, Global behavior of nonlinear difference equations of higher order with applications, Math. and Appl., Kluwer Acad. Publ. Group, Dordrecht (1993). DOI: https://doi.org/10.1007/978-94-017-1703-8

M. R. S Kulenovic, G. G. Ladas, W. S. Sizer, On the recursive sequence $dfrac{α x_{n}+β x_{n-1}}{ξ x_{n}+β x_{n-1}}$, Math. Sci. Res. Hot-Line, 2, № 5, 1–16 (1998).

M. Aloqeili, Dynamics of a rational difference equation, Appl. Math. and Comput., 176, № 2, 768–774 (2006). DOI: https://doi.org/10.1016/j.amc.2005.10.024

A. Sanbo, A. E. M. Elsayed, Some properties of the solutions of the difference equation $x_{n+1}= α x_{n} + (b x_{n}x_{n-4}) /(c x_{n-3}+d x_{n-4})$, Open J. Discrete Appl. Math., 2, № 2, 31–47 (2019). DOI: https://doi.org/10.30538/psrp-odam2019.0014

D. Simşek, B. Ogul, C. Cinar, Solution of the rational difference equation $x_{n+1}=dfrac{x_{n-17}}{1+x_{n-5}x_{n-11}}$, Filomat, 33, № 5, 1353–1359 (2019). DOI: https://doi.org/10.2298/FIL1905353S

D. Simsek, B. Ogul, F. Abdullayev, Solution of the rational difference equation, Appl. Math. and Nonlinear Sci., 5, № 1, 485–494 (2019).

D. Simsek, B. Ogul, F. Abdullayev, Solutions of the rational difference equations $x_{n+1}=dfrac{x_{n-11}}{1+x_{n-2}x_{n-5}x_{n-8}}$, AIP Conf. Proc., 1880, № 1 (2017). DOI: https://doi.org/10.1063/1.5000619

S. Stevic, A note on periodic character of a higher order difference equation, Rostock. Math. Kolloq., 61, 2–30 (2006).

S. Stevic, B. Iricanin, Z. Smarda, On a product-type system of difference equations of second order solvable in closed form, J. Inequal. and Appl., 2015, № 1, 327–334 (2012). DOI: https://doi.org/10.1186/s13660-015-0835-9

B. Oğul, D.Şimc sek, H. Öğünmez, A. S. Kurbanli, Dynamical behavior of rational difference equation $ x_ {n+ 1}=dfrac {x_ {n-17}}{± 1± x_ {n-2} x_ {n-5} x_ {n-8} x_ {n-11} x_ {n-14} x_ {n-17}}$, Bol. Soc. Mat. Mex., 27, № 2, 1–20 (2021). DOI: https://doi.org/10.1007/s40590-021-00357-9

B. Oğul, D.Şimc sek, F. Abdullayev, A. Farajzadeh, On the recursive sequence $x_ {n+ 1}=dfrac {x_ {n-7}}{± 1± x_ {n-1} x_ {n-3} x_ {n-5}}$, Thai J. Math., 20, № 1, 111–119 (2022).