Hermite–Hadamard-type inequalities arising from tempered fractional integrals including twice-differentiable functions

Fatih Hezenci; Hüseyin Budak; Muhammad Amer Latif

doi:10.3842/umzh.v76i9.7640

Fatih Hezenci Department of Mathematics, Faculty of Science and Arts, Duzce University, Turkey https://orcid.org/0000-0003-1008-5856
Hüseyin Budak Department of Mathematics, Faculty of Science and Arts, Duzce University, Turkey
Muhammad Amer Latif Department of Basic Sciences, Deanship of Preparatory Year, King Faisal University, Al-Hasa, Saudi Arabia

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v76i9.7640

Анотація

УДК 517.5

Нерівності типу Ерміта–Адамара, що виникають з повільно зростаючих дробово-раціональних інтегралів, які містять двічі диференційовні функції

Запропоновано новий метод для дослідження інтегральних тотожностей відповідно до дробово-інтегральних операторів повільного зростання. Крім того, нерівності типу середньої точки та нерівності типу трапеції доведено за допомогою двічі диференційовних опуклих функцій, пов'язаних з дробово-раціональними інтегральними операторами повільного зростання. Для отримання нерівностей такого типу використано відому нерівність Гельдера та нерівність середнього ступеня. Отримані нерівності типу Ерміта–Адамара є узагальненням деяких досліджень на цю тему, що пов'язані з дробовими інтегралами Рімана–Ліувілля.

Посилання

A. Barani, S. Barani, S. S. Dragomir, Refinements of Hermite–Hadamard inequalities for functions when a power of the absolute value of the second derivative is $P$-convex, J. App. Math., 2012 (2012).

H. Budak, H. Kara, F. Hezenci, M. Z. Sarikaya, New parameterized inequalities for twice differentiable functions, Filomat, 37, № 12 (2023).

H. Budak, F. Ertugral, E. Pehlivan, Hermite–Hadamard type inequalities for twice differantiable functions via generalized fractional integrals, Filomat, 33, № 15, 4967–4979 (2019).

R. G. Buschman, Decomposition of an integral operator by use of Mikusinski calculus, SIAM J. Math. Anal., 3, 83–85 (1972).

S. S. Dragomir, R. P. Agarwal, Two inequalities for differentiable mappings and applications to special means of real numbers and to trapezoidal formula, Appl. Math. Lett., 11, № 5, 91–95 (1998).

F. Hezenci, H. Budak, H. Kara, New version of fractional simpson type inequalities for twice differentiable functions, Adv. Difference Equat., 2021, Article 460 (2021).

R. Hilfer, Applications of fractional calculus in physics, World Scientific, Singapore (2000).

A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, J. J. Trujillo, Theory and applications of fractional differential equations, North-Holland Mathematics Studies, 204, Elsevier Sci. B. V., Amsterdam (2006).

C. Li, W. Deng, L. Zhao, Well-posedness and numerical algorithm for the tempered fractional ordinary differential equations, Discrete and Contin. Dyn. Syst. Ser. B, 24, 1989–2015 (2019).

H. Kavurmaci, M. Avci, M. E. Ozdemir, New inequalities of Hermite–Hadamard type for convex functions with applications, J. Inequal. and Appl., 2011, № 1, 1–11 (2011).

M. M. Meerschaert, A. Sikorskii, Stochastic models for fractional calculus, De Gruyter Stud. Math., 43 (2012).

M. M. Meerschaert, F. Sabzikar, J. Chen, Tempered fractional calculus, J. Comput. Phys., 293, 14–28 (2015).

P. O. Mohammed, M. Z. Sarikaya, D. Baleanu, On the generalized Hermite–Hadamard Inequalities via the tempered fractional integrals, Symmetry, 12, № 4, Article 595 (2020).

P. O. Mohammed, M. Z. Sarikaya, On generalized fractional integral inequalities for twice differentiable convex functions, J. Comput. and Appl. Math., Article 372 (2020).

J. E. Pecaric, F. Proschan, Y. L. Tong, Convex functions, partial orderings, and statistical applications, Math. Sci. and Eng., 187, Academic Press, Inc., Boston, MA (1992).

I. Podlubny, Fractional differential equations, Academic Press, San Diego (1999).

J. Park, On some integral inequalities for twice differentiable quasi-convex and convex functions via fractional integrals, Appl. Math. Sci., 9, № 62, 3057–3069 (2015).

M. Z. Sarikaya, N. Aktan, On the generalization of some integral inequalities and their applications, Math. and Comput. Modelling, 54, № 9-10, 2175–2182 (2011).

M. Z. Sarikaya, H. Budak, Some Hermite–Hadamard type integral inequalities for twice differentiable mappings via fractional integrals, Facta Univ. Ser. Math. and Inform., 29, № 4, 371–384 (2014).

M. Z. Sarikaya, M. E. Kiris, Some new inequalities of Hermite–Hadamard type for s-convex functions, Miskolc Math. Notes, 16, № 1, 491–501 (2015).

S. Samko, A. Kilbas, O. Marichev, Fractional integrals and derivatives: theory and applications, Gordon and Breach, London (1993).

M. Z. Sarikaya, E. Set, M. E. Ozdemir, S. S. Dragomir, New some Hadamard's type inequalities for coordinated convex functions, Tamsui Oxford J. Inform. and Math. Sci., 28, № 2, 137–152 (2012).

M. Z. Sarikaya, A. Saglam, H. Yildirim, New inequalities of Hermite–Hadamard type for functions whose second derivatives absolute values are convex and quasi-convex, Int. J. Open Problems Comput. Sci. and Math., 5, № 3, 2074–2827 (2012).

H. M. Srivastava, R. G. Buschman, Convolution integral equations with special function kernels, John Wiley & Sons, New York (1977).

V. Stojiljkovic, S. Dragomir, Differentiable Ostrowski type tensorial norm inequality for continuous functions of selfadjoint operators in Hilbert spaces, Gulf J. Math., 15, № 2, 40–55 (2023); https://doi.org/10.56947/ gjom.v15i2.1247.

M. Tomar, E. Set, M. Z. Sarıkaya, Hermite–Hadamard type Riemann–Liouville fractional integral inequalities for convex functions, AIP Conf. Proc., 1726, № 1, 020035 (2016).

Z. Tomovski, Generalized Cauchy type problems for nonlinear fractional differential equations with composite fractional derivative operator, Nonlinear Anal., 75, 3364–3384 (2012).

X. You, F. Hezenci, H. Budak, H. Kara, New Simpson type inequalities for twice differentiable functions via generalized fractional integrals, AIMS Math., 7, № 3, 3959–3971 (2021).