До теорії модулів поверхонь

Володимир Рязанов; Євген Севостьянов

doi:10.3842/umzh.v75i9.7651

Володимир Рязанов Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Слов'янськ Донецької обл.; Інститут математики НАН України, Київ
Євген Севостьянов Житомирський державний університет імені Івана Франка; Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Слов'янськ Донецької обл.

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v75i9.7651

Ключові слова: Модулі сімей поверхонь у евклідових просторах, міри Хаусдорфа, вимірні (борелеві) оболонки множин

Анотація

УДК 517.5

У цій статті продовжено розвиток теорії модулів сімей поверхонь, зокрема струн різних розмірностей $m=1,2,\ldots,n-1,$ у евклідових просторах $\mathbb{R}^n,$ $n\geq 2.$ На основі доведення леми про зв'язки між модулями та мірами Лебега отримано відповідний аналог теореми Фубіні в термінах модулів, що узагальнює відому теорему Вяйсяля з сімей кривих на сім'ї поверхонь довільних розмірностей. Слід зазначити, що найбільш тонким місцем у доведенні вказаної леми є твердження про вимірні (борелеві) оболонки множин у евклідових просторах. Крім того, доведено аналогічні лему і твердження про сім'ї концентричних куль.

Посилання

B. T. Rushing, Topological embeddings, Pure and Appl. Math., vol. 52, Academic Press, New York and London (1973).

L. C. Evans, R. F. Gariepy, Measure theory and fine properties of functions, Studies in Advanced Math., CRC Press, Boca Raton, FL (1992).

H. Federer, Geometric measure theory, Springer-Verlag, Berlin (1969).

S. Saks, Theory of the integral, Dover, New York (1964).

T. Rado, P. V. Reichelderfer, Continuous trasformations in analysis, Springer-Verlag, Berlin (1955). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-85989-2

B. Fuglede, Extremal length and functional completion, Acta Math., 98, 171–219 (1957). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02404474

J. Väisälä, Lectures on $n$-dimensional quasiconformal mappings, Lect. Notes Math., vol. 229, Springer-Verlag, Berlin etc. (1971). DOI: https://doi.org/10.1007/BFb0061216

D. Kovtonyk, V. Ryazanov, On the theory of mappings with finite area distortion, J. Anal. Math., 104, 291–306 (2008). DOI: https://doi.org/10.1007/s11854-008-0025-5

O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Moduli in modern mapping theory, Springer Sci.- Business Media, LLC, New York (2009).

O. Martio, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, Mappings with finite length distortion, J. Anal. Math., 93, 215–236 (2004). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02789308

B. Bojarski, V. Gutlyanskii, O. Martio, V. Ryazanov, Infinitesimal geometry of quasiconformal and bi-Lipschitz mappings in the plane, EMS Tracts Math., vol. 19, Eur. Math. Soc., Zürich (2013). DOI: https://doi.org/10.4171/122

V. Gutlyanskii, V. Ryazanov, U. Srebro, E. Yakubov, The Beltrami equation. A geometric approach, Dev. Math., 26, Springer, New York (2012). DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4614-3191-6

E. A. Sevost'yanov, On the boundary and global behavior of mappings of Riemannian surfaces, Filomat, 36, 1295–1327 (2022). DOI: https://doi.org/10.2298/FIL2204295S

P. R. Halmos, Measure theory, Springer, New York etc. (1974).

B. R. Gelbaum, J. M. H. Olmsted, Counterexamples in analysis, Corrected reprint of the second (1965) edition, Dover Publ., Inc. Mineola, NY (2003).

K. Kuratowski, Topology, vol. 1, Acad. Press, New York, London (1968). DOI: https://doi.org/10.1016/B978-0-12-429202-4.50005-4

Д. Ковтонюк, Р. Салимов, Е. Севостьянов, К теории отображений классов Соболева и Орлича–Соболева, Наук. думка, Киев (2013).

E. A. Sevost'yanov, On the local and boundary behaviour of mappings of factor spaces, Complex Var. and Elliptic Equat., 67, № 2, 284–314 (2022). DOI: https://doi.org/10.1080/17476933.2020.1825392