On the balanced pantograph equation of mixed type

Анотація

УДК 517.9

Про рівняння рівноважного пантографа мішаного типу

Розглянуто рівняння збалансованого пантографа (РЗП) $y^{\prime}(x)+y(x)=\sum_{k=1}^{m}p_{k}y(a_{k}x),$ де $a_{k}, p_{k} >0$ і $\sum_{k=1}^{m}p_{k} =1.$ Відомо, що якщо $K=\sum_{k=1}^{m}p_{k}\ln a_{k} \leq 0,$ то за м’яких технічних умов РЗП не має обмежених розв’язків, які не є сталими; водночас у випадку $K>0$ такі розв'язки існують. У цій статті ми маємо справу з РЗП мішаного типу, тобто $a_{1}<1<a_{m},$ і доводимо, що в цьому випадку РЗП має несталий розв’язок $y$ і, крім того, $y(x)\sim cx^{\sigma}$ при $x\to \infty,$ де $c>0,$ а $\sigma$ --- єдиний додатний корінь характеристичного рівняння $P(s)=1-\sum_{k=1}^{m}p_{k}a_{k}^{- s}=0.$ Також показано, що $y$ є єдиним (з точністю до мультиплікативної константи) серед розв’язків РЗП, що спадають до нуля при $x\to \infty.$