Взаємозв'язок задачі Боянова–Найдьонова з нерівностями колмогоровського типу

Анотація

УДК 517.5

Встановлено, що задача Боянова–Найдьонова $\big\|x^{(k)}\big\|_{q,\, \delta} \to \sup,$ $k= 0,1, \ldots ,r-1,$ на класах функцій $\Omega^r_p(A_0, A_r) := \{x\in L^r_{\infty}\colon \|x^{(r)}\|_{\infty}\le A_r,\ L(x)_p\le A_0 \},$ де $q \ge 1,$ якщо $k\ge 1,$ і $q \ge p,$ якщо $k=0,$ еквівалентна задачі про точну константу $C = C(\lambda)$ в нерівності колмогоровського типу \begin{gather}\big\|x^{(k)}\big\|_{q,\, \delta} \leq C L(x)_{p}^{\alpha} \big\|x^{(r)}\big\|_\infty^{1-\alpha}, \quad x\in \Omega^{r}_{p, \lambda}, \tag{1}\end{gather} де $\alpha=\dfrac{r-k+1/q}{r+1/p},$ $\|x\|_{p,\, \delta}:=\sup \{ \|x\|_{L_p[a,\, b]}\colon a, b \in {\rm \bf R},\ 0< b-a \le \delta \},$ $\delta > 0,$ $\Omega^{\,r}_{p, \lambda}:= \bigcup \big\{\Omega^{\,r}_p(A_0, A_r)\colon A_0 = A_r L(\varphi_{\lambda, r})_p\big\},$ $\lambda > 0,$ $\varphi_{\lambda, r}$ --- стиск ідеального сплайна Ейлера порядку $r,$ $L(x)_p:=\sup \big\{ \|x\|_{L_p[a,\, b]}\colon a, b \in {\rm \bf R},\ |x(t)|>0,\ t\in (a, b) \big\}.$

Зокрема, отримано точну на класах $\Omega^{\,r}_{p, \lambda},$ $\lambda > 0,$ нерівність вигляду (1). Теореми про взаємозв'язок і наслідки з них (точні нерівності бернштейнівського типу) доведено також для задачі Боянова–Найдьонова на просторах тригонометричних поліномів та сплайнів.