Topological entropy, sets of periods, and transitivity for circle maps

Lluís Alsedà; Liane Bordignon; Jorge Groisman

doi:10.3842/umzh.v76i1.7659

Lluís Alsedà Departament de Matemàtiques and Centre de Recerca Matemàtica, Edifici Cc, Universitat Autònoma de Barcelona, Spain
Liane Bordignon Departamento de Matemática, Universidade Federal de São Carlos, São Paulo, Brasil
Jorge Groisman IMERL, Facultad de Ingenierìa, Universidad de la República, Montevideo, Uruguay

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v76i1.7659

Анотація

УДК 517.9

Топологічна ентропія, набори періодів і транзитивність для відображень кіл

Транзитивність, існування періодичних точок і позитивна топологічна ентропія можуть бути використані, щоб охарактеризувати складність динамічних систем. Відомо, що для кожного графа, який не є деревом, і для кожного $\varepsilon>0$ існують (складні) повністю транзитивні відображення (тобто зі скінченною множиною періодів), для яких топологіч\-на ентропія менша за $\varepsilon$ (простота). Для кількісного визначення складності множини періодів ми вводимо поняття межі коскінченності. Чим більша межа коскінченності, тим простіша множина періодів. Показано, що для довільних неперервних відображень кола першого ступеня кожне повністю транзитивне (а отже, робастно складне) відображення з малою топологічною ентропією має як завгодно велику (за простотою) межу коскінченності.

Посилання

R. L. Adler, A. G. Konheim, M. H. McAndrew, Topological entropy, Trans. Amer. Math. Soc., 114, 309–319 (1965). DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1965-0175106-9

Ll. Alsedà, L. Bordignon, J. Groisman, Topological entropy, sets of periods and transitivity for graph maps: a factory of examples, Preprint (2023).

Ll. Alsedà, M. A. del Río, J. A. Rodríguez, A splitting theorem for transitive maps, J. Math. Anal. and Appl., 232, № 2, 359–375 (1999). DOI: https://doi.org/10.1006/jmaa.1999.6277

Ll. Alsedà, M. A. del Río, J. A. Rodríguez, A note on the totally transitive graph maps, Int. J. Bifur. and Chaos Appl. Sci. Engrg., 11, № 3, 841–843 (2001). DOI: https://doi.org/10.1142/S0218127401002365

Ll. Alsedà, M. A. Del Río, J. A. Rodríguez, A survey on the relation between transitivity and dense periodicity for graph maps, J. Difference Equat. and Appl., 9, № 3-4, 281–288 (2003). DOI: https://doi.org/10.1080/1023619021000047725

Ll. Alsedà, M. A. del Río, J. A. Rodríguez, Transitivity and dense periodicity for graph maps, J. Difference Equat. and Appl., 9, № 6, 577–598 (2003). DOI: https://doi.org/10.1080/1023619021000040515

Ll. Alsedà, F. Ma {n}osas, P. Mumbrú, Minimizing topological entropy for continuous maps on graphs, Ergodic Theory and Dynam. Systems, 20, № 6, 1559–1576 (2000). DOI: https://doi.org/10.1017/S0143385700000857

Ll. Alsedà, S. Baldwin, J. Llibre, M. Misiurewicz, Entropy of transitive tree maps, Topology, 36, № 2, 519–532 (1997). DOI: https://doi.org/10.1016/0040-9383(95)00070-4

Ll. Alsedà, J. Llibre, M. Misiurewicz, Combinatorial dynamics and entropy in dimension one, second ed., Ser. Nonlinear Dynam., vol. 5, World Sci. Publ. Co., Inc., River Edge, NJ (2000). DOI: https://doi.org/10.1142/4205

Ll. Alsedà, S. Ruette, Periodic orbits of large diameter for circle maps, Proc. Amer. Math. Soc., 138, № 9, 3211–3217 (2010). DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-10-10332-3

J. Banks, J. Brooks, G. Cairns, G. Davis, P. Stacey, On Devaney's definition of chaos, Amer. Math. Monthly, 99, № 4, 332–334 (1992). DOI: https://doi.org/10.1080/00029890.1992.11995856

A. M. Blokh, On transitive mappings of one-dimensional branched manifolds, Differential-difference Equations and Problems of Mathematical Physics (in Russian), Akad. Nauk Ukr. SSR, Inst. Mat., Kiev (1984), p. 3–9.

A. M. Blokh, The connection between entropy and transitivity for one-dimensional mappings, Uspekhi Mat. Nauk, 42, № 5, 209–210 (1987). DOI: https://doi.org/10.1070/RM1987v042n05ABEH001474

R. Ito, Rotation sets are closed, Math. Proc. Cambridge Phil. Soc., 89, № 1, 107–111 (1981). DOI: https://doi.org/10.1017/S0305004100057984

S. Kolyada, L. Snoha, Some aspects of topological transitivity – a survey, Iteration Theory (ECIT 94) (Opava), Grazer Math. Ber., vol. 334, Karl-Franzens-Univ. Graz (1997), p. 3–35.

M. Misiurewicz, Periodic points of maps of degree one of a circle, Ergodic Theory and Dynam. Systems, 2, № 2, 221–227 (1983). DOI: https://doi.org/10.1017/S014338570000153X