Periods of self-maps on $\rm S^2$ via their homology

Jaume Llibre

doi:10.3842/umzh.v76i1.7668

Jaume Llibre Departament de Matemàtiques, Universitat Autònoma de Barcelona, Spain

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v76i1.7668

Анотація

УДК 517.9

Періоди відображень $\rm S^2$ на себе в термінах їхньої гомології

Як звичайно, ми позначаємо $2$-вимірну сферу через $\rm S^2$. Вивчаються періоди періодичних орбіт відображень $f\colon \rm S^2 \rightarrow \rm S^2$, які є неперервними або $C^1$, а всі періодичні орбіти цих відображень є гіперболічними, або трансверсальними, або голоморфними, або трансверсально-голоморфними. Вперше узагальнено всі відомі результати про періодичні орбіти цих різних типів відображень $\rm S^2$ на себе одночасно. Зауважимо, що кожного разу, коли відображення $f\colon \rm S^2 \rightarrow \rm S^2$ збільшує свою структуру, кількість її періодичних орбіт, зумовлених її дією на гомологію, збільшується.

Посилання

I. N. Baker, Fix points of polynomials and rational functions, J. London Math. Soc., 39, 615–622 (1964). DOI: https://doi.org/10.1112/jlms/s1-39.1.615

R. F. Brown, The Lefschetz fixed point theorem, Scott, Foresman and Company, Glenview, IL (1971).

N. Fagella, J. Llibre, Periodic points of holomorphic maps via Lefstchetz numbers, Trans. Amer. Math. Soc., 352, 4711–4730 (2000). DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-00-02608-8

J. L. Garcia-Guirao, J. Llibre, $C^{1}$ self-maps on $S^{n},$ $S^{n} × S^{m},$ $C$P$^{n}$ and $HP^{n}$ with all their periodic orbits hyperbolic, Taiwanese J. Math., 16, 323–334 (2012). DOI: https://doi.org/10.11650/twjm/1500406543

J. L. Garcia-Guirao, J. Llibre, Periodic structure of fransversal maps on $CP^n,$ $HP^n$ and $S^p × S^q$, Qual. Theory Dyn. Syst., 12, 417–425 (2013). DOI: https://doi.org/10.1007/s12346-013-0099-z

J. L. Garcia-Guirao, J. Llibre, Periods of continuous maps on some compact spaces, J. Difference Equat. and Appl., 23, 1–7 (2017). DOI: https://doi.org/10.1080/10236198.2017.1304932

T. Y. Li, J. A. Yorke, Period three implies chaos, Amer. Math. Monthly, 82, № 10, 985–992 (1975). DOI: https://doi.org/10.1080/00029890.1975.11994008

J. Llibre, Lefschetz numbers for periodic points, Contemp. Math., 152, 215–227 (1993). DOI: https://doi.org/10.1090/conm/152/01325

J. Llibre, A note on the set of periods of transversal homological sphere self-maps, J. Difference Equat. and Appl., 9, 417–422 (2003). DOI: https://doi.org/10.1080/1023619021000047833

A. N. Sharkovsky, Coexistence of the cycles of a continuous mapping of the line into itself} (in Russian), Ukr. Math. Zh., 16, № 1, 61–71 (1964).

J. W. Vick, Homology theory, 2nd ed., Springer-Verlag (1994). DOI: https://doi.org/10.1007/978-1-4612-0881-5