On a functional equation characterizing some probability distributions

Justyna Jarczyk; Witold Jarczyk

doi:10.3842/umzh.v76i1.7672

Justyna Jarczyk Institute of Mathematics, University of Zielona Góra, Poland
Witold Jarczyk Institute of Mathematics, University of Zielona Góra, Poland

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v76i1.7672

Анотація

УДК 517.9

Про функціональне рівняння, що характеризує деякі ймовірнісні розподіли

Знайдено всі невід’ємні розв’язки $f$ рівняння \[f(x)=\prod^n_{j=1}f\left( s_jx\right)^{p_j},\] що визначені в односторонньому околі $0$ і мають задану асимптотику в $0.$ Основна теорема розширює результат Дж. А. Бейкерa [Proc. Amer. Math. Soc., 121, 767–773 (1994)].

Посилання

J. Aczél, Lectures on functional equations and their applications, Academic Press, New York, London (1966).

J. A. Baker, A functional equation from probability theory, Proc. Amer. Math. Soc., 121, 767–773 (1994). DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1994-1186127-5

G. Baxter, On a characterization of the normal law, Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 41, 383–385 (1955). DOI: https://doi.org/10.1073/pnas.41.6.383

L. Davies, R. Shimizu, On identically distributed linear statistics, Ann. Inst. Statist. Math., 28, 469–489 (1976). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02504763

R. G. Laha, E. Lukacs, On a functional equation which occurs in a characterization problem, Aequationes Math., 16, 259–274 (1977). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01836038

R. G. Laha, E. Lukacs, A. Rényi, A generalization of theorem of E. Vincze, Magyar Tud. Akad. Mat. Kuyató Int. Közl., 9, 237–239 (1964).

Yu. V. Linnik, Decomposition of probability distributions, Dover Publ., Inc., New York; Oliver and Boyd Ltd., Edinburgh, London (1964).

B. Ramachandran, K. S. Lau, Functional equations in probability theory, Academic Press, London (1991).

B. Ramachandran, K. S. Lau, H. M. Gu, On characteristic functions satisfying a functional equation and related classes of sumiltaneous integral equation, Sankhya A, 50, 190–198 (1988).

B. Ramachandran, C. R. Rao, Solutions of functional equations arising in some regression problems, and a characterization of the Cauchy law, Sankhya A, 32, 1–30 (1970).

R. Shimizu, Characteristic functions satisfying a functional equation. I, Ann. Inst. Statist. Math., 20, 187–209 (1968). DOI: https://doi.org/10.1007/BF02911635

R. Shimizu, Solution to a functional equation and its application to some characterization problems, Sankhya A, 40, 319–332 (1978).

E. Vincze, Bemerkung zur Charakterisierung des Gauss'schen Fehlergesetzes, Magyar Tud. Akad. Mat. Kutató Int, Közl., 7, 357–361 (1962).