Dynamics of one-dimensional maps and Gurtin–Maccamy's population model. Part I. Asymptotically constant solutions

Franco Herrera; Sergei Trofimchuk

doi:10.3842/umzh.v75i12.7678

Franco Herrera Instituto de Matemáticas, Universidad de Talca, Chile
Sergei Trofimchuk Instituto de Matemáticas, Universidad de Talca, Chile

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v75i12.7678

Анотація

УДК 517.9

Динаміка одновимірних відображень та популяційна модель Гуртіна–Маккемі. Частина І. Асимптотично сталі розв’язки

На основі нещодавньої роботи Ма та Магала [Proc. Amer. Math. Soc. (2021); https://doi.org/10.1090/proc/15629] щодо властивості глобальної стабільності популяційної моделі Гуртіна–Маккемі розглянуто сім’ю скалярних нелінійних рівнянь згортки з унімодальними нелінійностями. Зокрема, аналіз сингулярно збурениx диференціальних рівнянь із запізненням, запропонований Івановим та Шарковським в [https://doi.org/10.1007/978-3-642-61243-5_5], пов’язано з асимптотикою розв’язків системи Гуртіна–Маккемі. За класифікацією, запропонованою в [https://doi.org/10.1007/978-3-642-61243-5_5], можна виділити три основних типи неперервних розв’язків наших рівнянь, а саме: розв’язки асимптотично сталого типу, релаксаційного та турбулентного типів. Наведено різні умови, які гарантують, що всі розв'язки належать до першого з трьох згаданих класів. У постановці унімодальних рівнянь згортки ці умови пропонують узагальнену версію відомої гіпотези Райта.

Посилання

M. Aguerrea, C. Gomez, S. Trofimchuk, On uniqueness of semi-wavefronts (Diekmann–Kaper theory of a nonlinear convolution equation re-visited), Math. Ann., 354, 73–109 (2012). DOI: https://doi.org/10.1007/s00208-011-0722-8

F. Brauer, Perturbations of the nonlinear renewal equation, Adv. Math., 22, 32–51 (1976). DOI: https://doi.org/10.1016/0001-8708(76)90136-5

K. Cooke, J. Yorke, Some equations modelling growth processes and gonorrhea epidemics, Math. Biosci., 16, 75–101 (1973). DOI: https://doi.org/10.1016/0025-5564(73)90046-1

O. Diekmann, H. Kaper, On the bounded solutions of a nonlinear convolution equation, Nonlinear Anal., 2, 721–737 (1978). DOI: https://doi.org/10.1016/0362-546X(78)90015-9

A. Ducrot, Q. Griette, Z. Liu, P. Magal, Differential equations and population dynamics I: Introductory approaches, Lect. Notes Math. Model. Life Sci., Springer Nature (2022). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-98136-5

F. Dumortier, J. Llibre, J. C. Artés, Qualitative theory of planar differential systems, Universitext, Springer-Verlag, New York (2006).

A. Ivanov, E. Liz, S. Trofimchuk, Halanay inequality, Yorke 3/2 stability criterion, and differential equations with maxima, Tohoku Math. J., 54, 277–295 (2002). DOI: https://doi.org/10.2748/tmj/1113247567

A. F. Ivanov, A. N. Sharkovsky, Oscillations in singularly perturbed delay equations, Dynamics Reported, vol. 1, Springer, Berlin, Heidelberg (1992); https://doi.org/10.1007/978-3-642-61243-5_5. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-61243-5_5

C. Gomez, H. Prado, S. Trofimchuk, Separation dichotomy and wavefronts for a nonlinear convolution equation, J. Math. Anal. and Appl., 420, 1–19 (2014). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2014.05.064

S. A. Gourley, R. Liu, Delay equation models for populations that experience competition at immature life stages, J. Different. Equat., 259, 1757–1777 (2015). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jde.2015.03.012

G. Gripenberg, S. Londen, O. Staffans, Volterra integral and functional equations, Encyclopedia Math. and Appl., Cambridge Univ. Press, Cambridge (1990). DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9780511662805

M. E. Gurtin, R. C. MacCamy, Non-linear age-dependent population dynamics, Arch. Ration. Mech. and Anal., 54, 281–300 (1974). DOI: https://doi.org/10.1007/BF00250793

K. P. Hadeler, J. Tomiuk, Periodic solutions of difference-differential equations, Arch. Ration. Mech. and Anal., 65, 82–95 (1977). DOI: https://doi.org/10.1007/BF00289359

M. A. Krasnoselskii, P. P. Zabreiko, Geometrical methods of nonlinear analysis, Grundlehren Math. Wiss., Ser. Comp. Stud. Math., 263, (1984). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-69409-7

E. Liz, Four theorems and one conjecture on the global asymptotic stability of delay differential equations, The First 60 Years of Nonlinear Analysis of Jean Mawhin (June 2004), p.~117–129. DOI: https://doi.org/10.1142/9789812702906_0010

E. Liz, V. Tkachenko, S. Trofimchuk, A global stability criterion for scalar functional differential equations, SIAM J. Math. Anal., 35, 596–622 (2003). DOI: https://doi.org/10.1137/S0036141001399222

E. Liz, M. Pinto, V. Tkachenko, S. Trofimchuk, A global stability criterion for a family of delayed population models, Quart. Appl. Math., 63, 56–70 (2005). DOI: https://doi.org/10.1090/S0033-569X-05-00951-3

S.-O. Londen, On the asymptotic behavior of the bounded solutions of a nonlinear Volterra equation, SIAM J. Math. Anal., 5, 849–875 (1974). DOI: https://doi.org/10.1137/0505082

S.-O. Londen, On a non-linear Volterra integral equation, J. Different. Equat., 14, 106–120 (1973). DOI: https://doi.org/10.1016/0022-0396(73)90080-6

Z. Ma, P. Magal, Global asymptotic stability for Gurtin–MacCamy's population dynamics model, Proc. Amer. Math. Soc. (2021); https://doi.org/10.1090/proc/15629. DOI: https://doi.org/10.1090/proc/15629

P. Magal, S. Ruan, Center manifolds for semilinear equations with non-dense domain and applications on Hopf bifurcation in age structured models, Mem. Amer. Math. Soc., 202, Article 951 (2009). DOI: https://doi.org/10.1090/S0065-9266-09-00568-7

P. Magal, S. Ruan, Theory and applications of abstract semilinear Cauchy problems, Appl. Math. Sci., vol. 201, Springer, Cham (2018). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-030-01506-0

J. Mallet-Paret, R. D. Nussbaum, Global continuation and asymptotic behavior for periodic solutions of a differential-delay equation, Ann. Mat. Pura ed Appl., 145, 33–128 (1986). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01790539

S. Ruan, Delay differential equations in single species dynamics, Delay Differential Equations with Applications, NATO Sci. Ser. II, vol. 205, Springer, Berlin (2006), p. 477–517. DOI: https://doi.org/10.1007/1-4020-3647-7_11

A. N. Sharkovsky, S. F. Kolyada, A. G. Sivak, V. V. Fedorenko, Dynamics of one-dimensional maps, Mathematics and its Applications, 407, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht (1997). DOI: https://doi.org/10.1007/978-94-015-8897-3

H. L. Smith, Monotone dynamical systems, Amer. Math. Soc., Providence (1995).

H. L. Smith, H. R. Thieme, Dynamical systems and population persistence, Grad. Stud. Math., vol.~189, Amer. Math. Soc., Providence, RI (2011).

J. Szarski, Differential inequalities, PWN, Warszawa (1965).

J. B. van den Berg, J. Jaquette, A proof of Wright's conjecture, J. Different. Equat., 264, 7412–7462 (2018). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jde.2018.02.018

H.-O. Walther, The impact on mathematics of the paper ``Oscillation and chaos in physiological control systems'', by Mackey and Glass in Science (1977); arXiv:2001.09010 (2020).

G. F. Webb, Theory of nonlinear age-dependent population dynamics, Marcel Dekker, New York (1985).