On $\Pi$-permutable subgroups in finite groups

B. Hu; J. Huang; N. M. Adarchenko

doi:10.37863/umzh.v73i10.768

B. Hu Школа математики і статистики, Цзянсунскій педагогічний університет https://orcid.org/0000-0003-4821-510X
J. Huang Школа математики и статистики, Цзянсунский педагогический университет https://orcid.org/0000-0003-0313-8083
N. M. Adarchenko Факультет математики и технологий программирования, Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины

DOI: https://doi.org/10.37863/umzh.v73i10.768

Анотація

УДК 512.542

ПРО $\Pi$-ПЕРЕСТАВНI ПIДГРУПИ СКIНЧЕННИХ ГРУП

Нехай $\sigma =\{\sigma_{i} | i\in I\}$~--- деяке розбиття множини всіх простих чисел $\Bbb{P}$ і $\Pi$ --- непорожня підмножина множини $\sigma.$ Множина ${\cal H}$ підгруп скінченної групи $G$ називається \textit{повною холлівською $\Pi$-множиною} в $G,$ якщо кожен член з ${\cal H}$ є холлівською $\sigma _{i}$-підгрупою в $G$ для деякого $\sigma _{i}\in \Pi$ і ${\cal H}$ містить точно одну холлівську $\sigma_{i}$-підгрупу з $G$ для кожного $\sigma _{i}\in \Pi$ такого, що $\sigma_i\cap \pi(G)\neq\varnothing.$ Підгрупа $A$ з $G$ називається: (i) {${\cal H}^{G}$-переставною}, якщо $AH^{x}=H^{x}A$ для всіх $H\in {\cal H}$ і $x\in G;$ (ii) {$\Pi$-переставною в $G,$} якщо $A$ є ${\cal H}^{G}$-переставною для деякої повної $\Pi$-множини $\cal H$~в~$G.$

У цій статті вивчено вплив $\Pi$-переставних підгруп на структуру групи $G.$ Зокрема, доведено таке твердження: якщо $\pi= \displaystyle\bigcup\nolimits_{\sigma_{i}\in \Pi} \sigma_{i}$ та $G =AB,$ де $A$ і $B$ є ${\cal H}^{G}$-переставними $\pi$-сепарабельними (відповідно, $\pi$-замкненими) підгрупами $G,$ то $G$ також має бути $\pi$-сепарабельною (відповідно, $\pi$-замкненою). Крім того, узагальнено деякі відомі результати.

Посилання

A. N. Skiba, On $σ$-subnormal and $σ$-permutable subgroups of finite groups, J. Algebra, 436, 1 – 16 (2015), https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2015.04.010 DOI: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2015.04.010

A. N. Skiba, A generalization of a Hall theorem, J. Algebra and Appl., 15, № 4, 21 – 36 (2015), https://doi.org/10.1142/S0219498816500857 DOI: https://doi.org/10.1142/S0219498816500857

A. N. Skiba, Some characterizations of finite $σ$-soluble $Pσ T$-groups, J. Algebra, 495, 114 – 129 (2018), https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2017.11.009 DOI: https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2017.11.009

A. Ballester-Bolinches, R. Esteban-Romero, M. Asaad, Products of finite groups, Walter de Gruyter, Berlin; New York (2010), https://doi.org/10.1515/9783110220612 DOI: https://doi.org/10.1515/9783110220612

A. N. Skiba, On some results in the theory of finite partially soluble groups, Commun. Math. Stat., 4, № 3, 281 – 309 (2016), https://doi.org/10.1007/s40304-016-0088-z DOI: https://doi.org/10.1007/s40304-016-0088-z

O. H. Kegel, Sylow-Gruppen und Subnormalteiler endlicher Gruppen, Math. Z., 78, 205 – 221 (1962), https://doi.org/10.1007/BF01195169 DOI: https://doi.org/10.1007/BF01195169

B. Huppert, Endliche Gruppen I, Springer-Verlag, Berlin etc. (1967). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-64981-3

K. Corradi, P. Z. Hermann, L. Hethelyi, Separability properties of finite groups hereditary for certain products, Arch. Math., 44, 210 – 215 (1985), https://doi.org/10.1007/BF01237852 DOI: https://doi.org/10.1007/BF01237852

P. Z. Hermann, On $π$ -quasinormal subgroups in finite groups, Arch. Math., 53, 228 – 234 (1989), https://doi.org/10.1007/BF01277055 DOI: https://doi.org/10.1007/BF01277055

Ren Yongcai, Notes on $π$ -quasinormal subgroups in finite groups, Proc. Amer. Math. Soc., 117, № 3, 631 – 636 (1993), https://doi.org/10.2307/2159120 DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1993-1113651-2

M. Weinstein ed., Between nilpotent and solvable, Polygonal Publ. House (1982).

D. Friesen, Products of normal supersoluble subgroups, Proc. Amer. Math. Soc., 30, 46 – 48 (1971), https://doi.org/10.2307/2038217 DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1971-0280590-4