Hermite–Hadamard-type inequalities for multiplicative harmonic $s$-convex functions

Serap Özcan; Ayça Uruṣ; Saad Ihsan Butt

doi:10.3842/umzh.v76i9.7705

Serap Özcan Department of Mathematics, Faculty of Arts and Sciences, Kirklareli University, Turkey
Ayça Uruṣ Department of Mathematics, Institute of Natural Sciences, Kirklareli University, Turkey
Saad Ihsan Butt Department of Mathematics, COMSATS University Islamabad Lahore Campus, Pakistan

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v76i9.7705

Анотація

УДК 517.5

Нерівності типу Ерміта-Адамара для мультиплікативних гармонічних $s$-опуклих функцій

Вивчено поняття мультиплікативних гармонічних $s$-опуклих функцій і встановлено інтегральні нерівності Ерміта–Адамара для цього класу функцій. Навіть більше, отримано ряд нерівностей типу Ерміта–Адамара, що можуть бути застосовні до добутку та частки мультиплікативних гармонічних $s$-опуклих функцій. Крім того, отримано нові нерівності, що містять мультиплікативні інтеграли для добутку і частки гармонічних опуклих і мультиплікативних гармонічних $s$-опуклих функцій. Деякі результати для класу мультиплікативних гармонічних опуклих функцій отримано як часткові випадки наших результатів. Отримані результати підтверджено за допомогою наведених прикладів, що містять відповідні графіки.

Посилання

P. Agarwal, S. S. Dragomir, M. Jleli, B. Samet (eds.), Advances in mathematical inequalities and applications, Springer, Singapore (2018). DOI: https://doi.org/10.1007/978-981-13-3013-1

M. A. Ali, M. Abbas, A. A. Zafer, On some Hermite–Hadamard integral inequalities in multiplicative calculus, J. Inequal. Spec. Funct., 10, № 1, 111–122 (2019).

M. A. Ali, M. Abbas, Z. Zhang, I. B. Sial, R. Arif, On integral inequalities for product and quotient of two multiplicatively convex functions, Asian Res. J. Math., 12, № 3, 1–11 (2019). DOI: https://doi.org/10.9734/arjom/2019/v12i330084

M. U. Awan, M. A. Noor, K. I. Noor, Some integral inequalities for harmonically logarithmic $h$-convex functions, Sohag J. Math., 5, № 2, 57–62 (2018). DOI: https://doi.org/10.18576/sjm/050203

A. E. Bashirov, E. M. Kurpınar, A. Özyapıcı, Multiplicative calculus and applications, J. Math. Anal. and Appl., 337, № 1, 36–48 (2008). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2007.03.081

A. E. Bashirov, E. Kurpınar, Y. Tando, A. Özyapıcı, On modeling with multiplicative differential equations, Appl. Math., 26, № 4, 425–438 (2011). DOI: https://doi.org/10.1007/s11766-011-2767-6

S. I. Butt, J. Pečarić, I. Perić, Refinement of integral inequalities for monotone functions, J. Inequal. and Appl., 2012, № 1, 1–11 (2012). DOI: https://doi.org/10.1186/1029-242X-2012-301

T. Rasheed, S. I. Butt, D. Pečarić, J. Pečarić, Generalized cyclic Jensen and information inequalities, Chaos, Solitons & Fractals, 163, Article 112602 (2022). DOI: https://doi.org/10.1016/j.chaos.2022.112602

S. I. Butt, J. Pečarić, A. Vukelić, Generalization of Popoviciu type inequalities via Fink's identity, Mediterr. J. Math., 13, № 4, 1495–1511 (2016). DOI: https://doi.org/10.1007/s00009-015-0573-8

S. I. Butt, H. Budak, M. Tariq, M. Nadeem, Integral inequalities for $n$-polynomial $s$-type preinvex functions with applications, Math. Methods Appl. Sci., 44, № 14, 11006–11021 (2021). DOI: https://doi.org/10.1002/mma.7465

S. I. Butt, J. Pečarić, Popoviciu's inequality for $n$-convex functions, Lap Lambert Acad. Publ. (2016).

S. I. Butt, J. Pečarić, Generalized Hermite–Hadamard's inequality, Proc. A. Razmadze Math. Inst., 163, 9–27 (2013).

S. I. Butt, M. Tariq, A. Aslam, H. Ahmad, T. A. Nofal, Hermite–Hadamard type inequalities via generalized harmonic exponential convexity and applications, J. Funct. Spaces (2021). DOI: https://doi.org/10.1155/2021/5533491

S. I. Butt, A. O. Akdemir, M. Nadeem, N. Mlaiki, Í. Íşcan, T. Abdeljawad, $ (m,n)$-Harmonically polynomial convex functions and some Hadamard type inequalities on the coordinates, AIMS Math., 6, № 5, 4677–4691 (2021).

S. S. Dragomir, C. E. M. Pearce, Selected topics on Hermite–Hadamard inequalities and applications, RGMIA Monographs, Victoria University (2000).

S. S. Dragomir, S. Fitzpatrick, The Hadamard inequalities for $s$-convex functions in the second sense, Demonstr. Math., 32, № 4, 687–696 (1999). DOI: https://doi.org/10.1515/dema-1999-0403

S. S. Dragomir, C. E. M. Pearce, Quasi-convex functions and Hermite–Hadamard's inequality, Bull. Aust. Math. Soc., 57, 377–385 (1998). DOI: https://doi.org/10.1017/S0004972700031786

M. Grossman, R. Katz, Non-Newtonian calculus, Lee Press, Pigeon Cove, MA (1972).

H. Hudzik, L. Maligranda, Some remarks on $s$-convex functions, Aequationes Math., 48, 100–111 (1994). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01837981

Í. Íşcan, Hermite–Hadamard type inequalities for harmonically convex functions, Hacet. J. Math. Stat., 43, № 6, 935–942 (2014). DOI: https://doi.org/10.15672/HJMS.2014437519

H. Kadakal, Multiplicatively $P$-functions and some new inequalities, New Trends Math. Sci., 6, № 4, 111–118 (2018). DOI: https://doi.org/10.20852/ntmsci.2018.321

M. A. Noor, K. I. Noor, M. U. Awan, Some characterizations of harmonically $log$-convex functions, Proc. Jangjeon Math. Soc., 17, № 1, 51–61 (2014).

M. A. Noor, K. I. Noor, M. U. Awan, S. Costache, Some integral inequalities for harmonically $h$-convex functions, U.P.B. Sci. Bull., Ser. A, 77, № 1, 5–16 (2015).

S. Özcan, Í. Íşcan, Some new Hermite–Hadamard type inequalities for $s$-convex functions and their applications, J. Inequal. and Appl., Article 201 (2019). DOI: https://doi.org/10.1186/s13660-019-2151-2

S. Özcan, Some integral inequalities for harmonically $ (alpha,s)$-convex functions, J. Funct. Spaces, 2019, Article ID 2394021 (2019). DOI: https://doi.org/10.1155/2019/2394021

S. Özcan, Hermite–Hadamard type inequalities for $m$-convex and $ (alpha, m)$-convex functions, J. Inequal. and Appl., Article 175 (2020).

S. Özcan, Hermite–Hadamard type inequalities for multiplicatively $h$-convex functions, Konuralp J. Math., 8, № 1, 158–164 (2020). DOI: https://doi.org/10.1186/s13660-020-02442-5

S. Özcan, Hermite–Hadamard type inequalities for multiplicatively $h$-preinvex functions, Turkish J. Anal. Number Theory, 9, № 3, 65–70 (2020). DOI: https://doi.org/10.12691/tjant-9-3-5

S. Özcan, On refinements of some integral inequalities for differentiable prequasiinvex functions, Filomat, 33, № 14, 4377–4385 (2019). DOI: https://doi.org/10.2298/FIL1914377O

A. Özyapıcı, E. Misirli, Exponential approximation on multiplicative calculus, 6th ISAAC Congress (2007).

J. E. Pečarić, F. Proschan, Y. L. Tong, Convex functions, partial orderings and statistical applications, Academic Press, Boston (1992).

Y. Qin, Integral and discrete inequalities and their applications, Birkhäuser, Springer International Publishing, Switzerland (2016); DOI.org/10.1007/978-3-319-33301-4.

M. Riza, A. Özyapıcı, E. Kurpınar, Multiplicative finite difference methods, Quart. Appl. Math., 67, № 4, 745–754 (2009). DOI: https://doi.org/10.1090/S0033-569X-09-01158-2

V. Volterra, B. Hostinsky, Operations infinitesimales lineaires, Gauthier-Villars, Paris (1938).