Investigation of the approximate solution of one class of curvilinear integral equations by the projection method

Elnur H. Khalilov; Araz R. Aliev; Ali M. Musayev

doi:10.3842/umzh.v76i10.7762

Elnur H. Khalilov Azerbaijan State Oil and Industry University, Baku, Azerbaijan; Scientific and Innovation Center of the Western Caspian University, Baku, Azerbaijan
Araz R. Aliev Azerbaijan State Oil and Industry University, Baku, Azerbaijan; Institute of Mathematics and Mechanics, Baku, Azerbaijan; Institute of Mathematics and Mechanics, Baku, Azerbaijan; Center for Mathematics and Its Applications, Khazar University, Baku, Azerbaijan
Ali M. Musayev Azerbaijan State Oil and Industry University, Baku, Azerbaijan

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v76i10.7762

Анотація

УДК 517.9

Дослідження наближеного розв’язку одного класу криволінійних інтегральних рівнянь проєкційним методом

Доведено теорему існування нормальної похідної потенціалу подвійного шару та наведено формулу для її обчислення. Розроблено новий метод побудови квадратурних формул для нормальних похідних від потенціалів простого та подвійного шарів та одержано оцінки для похибок отриманих квадратурних формул. На основі цих квадратурних формул інтегральне рівняння зовнішньої крайової задачі Діріхле для рівняння Гельмгольца у двовимірному просторі замінено на систему алгебраїчних рівнянь. Доведено існування та єдиність розв’язку цієї системи. Крім того, доведено збіжність розв’язку системи алгебраїчних рівнянь до точного розв’язку інтегрального рівняння в контрольних точках та знайдено швидкість цієї збіжності.

Посилання

O. I. Panich, On the solvability of exterior boundary-value problems for the wave equation and Maxwell's equations, Uspekhi Mat. Nauk, 20, № 1, 221–226 (1965) (in Russian).

H. Brakhage, P. Werner, Über das Dirichletsche Aussenraumproblem für die Helmholtzsche Schwingungsgleichung, Arch. Math., 16, № 1, 325–329 (1965). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01220037

R. Leis, Zur Dirichletschen Randwertaufgabe des Aussenraums der Schwingungsgleichung, Math. Z., 90, № 3, 205–211 (1965). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01119203

D. L. Colton, R. Kress, Integral equation methods in scattering theory, John Wiley & Sons, New York (1983).

A. J. Burton, G. F. Miller, The application of integral equation methods to the numerical solution of some exterior boundary-value problems, Proc. Roy. Soc. London, A323, 201–220 (1971). DOI: https://doi.org/10.1098/rspa.1971.0097

R. Kress, Boundary integral equations in time-harmonic acoustic scattering, Math. and Comput. Model., 15, № 3-5, 229–243 (1991). DOI: https://doi.org/10.1016/0895-7177(91)90068-I

N. M. Gunter, Potential theory and its applications to basic problems of mathematical physics, Gostekhizdat, Moscow (1953) (in Russian).

I. K. Lifanov, Method of singular integral equations and numerical experiment, Yanus, Moscow (1995) (in Russian).

E. H. Khalilov, Investigation of an approximate solution of the integral equation of the exterior Dirichlet boundary-value problem for the Helmholtz equation in the two-dimensional space, Tomsk State Univ. J. Math. and Mech., 82, 39–54 (2023). DOI: https://doi.org/10.17223/19988621/82/4

M. N. Bakhshaliyeva, A quadrature formula for the derivative of logarithmic potentials, Tomsk State Univ. J. Math. and Mech., 68, 5–22 (2020). DOI: https://doi.org/10.17223/19988621/68/1

M. N. Bakhshaliyeva, E. H. Khalilov, Justification of the collocation method for an integral equation of the exterior Dirichlet problem for the Laplace equation, Comput. Math. and Math. Phys., 61, № 6, 923–937 (2021). DOI: https://doi.org/10.1134/S0965542521030039

E. H. Khalilov, Justification of the collocation method for a class of surface integral equations, Math. Notes, 107, № 4, 663–678 (2020). DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434620030335

E. H. Khalilov, A. R. Aliev, Justification of a quadrature method for an integral equation to the external Neumann problem for the Helmholtz equation, Math. Methods Appl. Sci., 41, № 16, 6921–6933 (2018). DOI: https://doi.org/10.1002/mma.5204

N. Mustafa, E. H. Khalilov, The collocation method for the solution of boundary integral equations, Appl. Anal., 88, № 12, 1665–1675 (2009). DOI: https://doi.org/10.1080/00036810903330512

X. Chen, Y. Jiang, A fast multiscale Galerkin method for solving a boundary integral equation in a domain with corners, J. Integral Equat. and Appl., 33, № 2, 193–228 (2021). DOI: https://doi.org/10.1216/jie.2021.33.193

C. Turc, Y. Boubendir, M. K. Riahi, Well-conditioned boundary integral equation formulations and Nyström discretizations for the solution of Helmholtz problems with impedance boundary conditions in two-dimensional Lipschitz domains, J. Integral Equat. and Appl., 29, № 3, 441–472 (2017). DOI: https://doi.org/10.1216/JIE-2017-29-3-441

O. I. Yaman, G. Ozdemir, Numerical solution of a generalized boundary-value problem for the modified Helmholtz equation in two dimensions, Math. and Comput. Simulation, 190, 181–191 (2021). DOI: https://doi.org/10.1016/j.matcom.2021.05.013

N. I. Muskhelishvili, Singular integral equations, Fizmatlit, Moscow (1962) (in Russian).

V. S. Vladimirov, The equations of mathematical physics, Moscow, Nauka (1981) (in Russian).

E. H. Khalilov, M. N. Bakhshaliyeva, Quadrature formulas for simple and double layer logarithmic potentials, Proc. Inst. Math. Mech. Nat. Acad. Sci. Azerb., 45, № 1, 155–162 (2019).

E. H. Khalilov, M. N. Bakhshaliyeva, On the derivative of the double-layer logarithmic potential, Tomsk State Univ. J. Math. and Mech., 62, 38–54 (2019). DOI: https://doi.org/10.17223/19988621/62/4

G. M. Vainikko, Regular convergence of operators and approximate solution of equations, J. Soviet Math., 15, 675–705 (1981). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01377042

A. I. Guseinov, Kh. Sh. Mukhtarov, Introduction to the theory of nonlinear singular integral equations, Nauka, Moscow (1980) (in Russian).