Line graph of extensions of the zero-divisor graph in commutative rings

Анотація

УДК 512.6

Лінійний граф iз розширень графа з нульовим дільником у комутативних кільцях

Розглянуто скінченне комутативне кільце з одиницею, позначене як $\mathscr{P}.$ У цьому випадку для суттєвого графа $\mathscr{P}$ справедливим є зображення $E{G}(\mathscr{P})$ з множиною вершин $Z(\mathscr{P})^* = Z(\mathscr{P})\setminus\{0\},$ у якій дві різні вершини $x$ та $y$ суміжні тоді й лише тоді, коли $ann(xy)$ є суттєвим ідеалом $\mathscr{P}.$ Водночас слабкий  граф із нульовим дільником $\mathscr{P}$  позначено як $\text{W}{\Gamma}(\mathscr{P})$ з множиною вершин $Z(\mathscr{P})^* = Z(\mathscr{P})\setminus\{0\},$ де ребро визначено між двома різними вершинами $u$ та $v$ тоді й лише тоді, коли існують $r \in {\rm ann}(u)^*$ і $s\in ann(v)^*$ такі, що $rs=0$, де $ann(u) = \{v \in \mathscr{P}\colon uv = 0\}$ для $u \in \mathscr{P}.$ У цьому дослідженні розглянуто умови, за яких $E{G}(\mathscr{P})$ і $\text{W}{\Gamma}(\mathscr{P})$ можна класифікувати як лінійні графи. Крім того, досліджено сценарії, у яких ці графи є доповненнями лінійних графів.