Бігармонічне продовження градієнтів за допомогою моногенних функцій зі значеннями у бігармонічній алгебрі

Сергій Грищук

doi:10.3842/umzh.v74i4.7867

Сергій Грищук Інститут математики НАН України, Київ; Національний університет „Києво-Могилянська академія'' https://orcid.org/0000-0001-8683-445X

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v74i4.7867

Ключові слова: Неперервне продовження функції, бігармонічна функція, бігармонічний градієнт, бігармонічна алгебра, моногенні функції

Анотація

УДК 517.5

Знайдено необхідні та достатні умови існування продовження через гладку криву для градієнтів функцій, які визначені та є бігармонічними функціями у відповідних областях, що межують з даною кривою. Навіть більше, знайдене продовження визначає градієнт бігармонічної функції в області, яка є об'єднанням зазначених областей та кривої.

Посилання

С. В. Грищук, С. А. Плакса, Моногенные функции в бигармонической алгебре, Укр. мат. журн., 61, № 12, 1587–1596 (2009).

S. V. Gryshchuk, S. A. Plaksa, Basic properties of monogenic functions in a biharmonic plane, Complex Analysis and Dynamical Systems V, Contemp. Math., 591, Amer. Math. Soc., Providence, RI (2013), p. 127–134. DOI: https://doi.org/10.1090/conm/591/11831

С. В. Грищук, С. А. Плакса, Моногенные функции в бигармонической плоскости, Доп. НАН України, Мат., природ., техн. науки, № 12, 13–20 (2009).

B. Y. Sternin, V. E. Shatalov, Continuation of solutions to elliptic equations and localization of singularities, Global Analysis – Studies and Applications V, Lecture Notes in Math., 1520, Springer, Berlin, Heidelberg (1992), p. 237–259. DOI: https://doi.org/10.1007/BFb0084724

H. Lewy, Neuer Beweis des analytischen Charakters der Lösungen elliptischer Differentialgleichungen, Math. Ann., 101, № 1, 609–619 (1929). DOI: https://doi.org/10.1007/BF01454865

С. Г. Михлин, Плоская задача теории упругости, Труды Сейсм. ин-та АН СССР, № 65 (1934).

G. Albinus, Multiple layer potentials for the quadrant and their application to the Dirichlet problem in plane domains with a piecewise smooth boundary, Banach Center Publ., 10, № 1, 7–26 (1983). DOI: https://doi.org/10.4064/-10-1-7-26

И. Н. Векуа, Новые методы решения эллиптических уравнений, Гостехиздат, Москва, Ленинград (1948).

H. Poritsky, Application of analytic functions to two-dimensional biharmonic analysis, Trans. Amer. Math. Soc., 59, № 2, 248–279 (1946). DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1946-0015630-0

C. L. Yu, Reflection principle for solutions of higher order elliptic equations with analytic coefficients, SIAM J. Appl. Math., 2, № 3, 358–363 (1971). DOI: https://doi.org/10.1137/0120038

J. H. Bramble, Continuation of solutions of the equations of elasticity, Proc. London Math. Soc., 3, № 10, 335-353 (1960). DOI: https://doi.org/10.1112/plms/s3-10.1.335

J. H. Bramble, Continuation of solutions of the equations of elasticity across a spherical boundary, J. Math. Anal. and Appl., 2, № 1, 72–85 (1961). DOI: https://doi.org/10.1016/0022-247X(61)90045-2

T. V. Savina, On the dependence of the reflection operator on boundary conditions for biharmonic functions, J. Math. Anal. and Appl., 370, № 2, 716–725 (2010). DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2010.04.036

S. V. Gryshchuk, S. A. Plaksa, Monogenic functions in the biharmonic boundary value problem, Math. Methods Appl. Sci., 39, № 11, 2939–2952 (2016). DOI: https://doi.org/10.1002/mma.3741

Л. Берс, Ф. Джон, М. Шехтер. Уравнения с частными производными, Мир, Москва (1966).

И. И. Ляшко, А. К. Боярчук, Я. Г. Гай, А. Ф Калайда, Математический анализ: в 3-х ч., ч. 2, Вища школа, Киев (1985).

Л. Д. Кудрявцев, Курс математического анализа: в 3-х т., т. 2, Дрофа, Москва (2004).

Я. Б. Лопатинский, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Вища школа, Киев (1984).

В. Ф. Ковалев, И. П. Мельниченко, Бигармонические функции на бигармонической плоскости, Доп. АН УРСР. Сер. А, № 8, 25–27 (1981).

И. П. Мельниченко, Бигармонические базисы в алгебрах второго ранга, Укр. мат. журн., 38, № 2, 252–254 (1986).

L. Sobrero, Nuovo metodo per lo studio dei problemi di elasticità, con applicazione al problema della piastra forata, Ric. Ingegn., 1, № 2, 255–264 (1934).

A. Douglis, A function-theoretic approach to elliptic systems of equations in two variables, Commun. Pure and Appl. Math., 6, № 2, 259–289 (1953). DOI: https://doi.org/10.1002/cpa.3160060205

М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат, Методы теории функций комплексного переменного, Наука, Москва (1987).