Strong measurable continuous modifications of stochastic flows

Olivier  Raimond; Georgii Riabov

doi:10.3842/umzh.v75i11.7875

Olivier Raimond MODAL'X, Université Paris Nanterre, France
Georgii Riabov Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v75i11.7875

Ключові слова: стохастичні потоки, потоки зі склеюванням, метричні графи

Анотація

УДК 519.21

Сильні вимірні неперервні модифікації стохастичних потоків

Розглянуто стохастичні потоки вимірних відображень у локально компактному сепарабельному метричному просторі $(M,\rho).$ Запропоновано нову конструкцію, що породжує сильні вимірні неперервні модифікації для певних стохастичних потоків вимірних відображень у метричних графах.

Посилання

M. Barlow, J. Pitman, M. Yor, On Walsh’s Brownian motions, Séminaire de probabilités XXIII, Lect. Notes Math., 1372, 275–293 (1989). DOI: https://doi.org/10.1007/BFb0083979

K. Burdzy, H. Kaspi, Lenses in skew Brownian flow, Ann. Probab., 32, № 4, 3085–3115 (2004); DOI: 10.1214/ 009117904000000711. DOI: https://doi.org/10.1214/009117904000000711

R. W. R. Darling, Constructing nonhomeomorphic stochastic flows, Mem. Amer. Math. Soc., vol. 376, Amer. Math. Soc., Providence, RI (1987); DOI: 10.1090/memo/0376. DOI: https://doi.org/10.1090/memo/0376

J. Dieudonné, Foundations of modern analysis, Pure and Appl. Math., vol. 10, Academic Press, New York (1960).

A. Dvoretzky, P. Erdős, S. Kakutani, Nonincrease everywhere of the Brownian motion process, Proc. 4th Berkeley Symp. Math. Stat. and Probab., 2, 103–116 (1961).

S. N. Ethier, T. G. Kurtz, Markov processes. Characterization and convergence, John Wiley & Sons, Hoboken, NJ (2005).

S. N. Evans, B. Morris, A. Sen, Coalescing systems of non-Brownian particles, Probab. Theory and Relat. Fields, 156, № 1-2, 307–342 (2013); DOI: 10.1007/s00440-012-0429-0. DOI: https://doi.org/10.1007/s00440-012-0429-0

M. I. Freidlin, A. D. Wentzell, Diffusion processes on graphs and the averaging principle, Ann. Probab., 21, № 4, 2215–2245 (1993); DOI: 10.1214/aop/1176989018. DOI: https://doi.org/10.1214/aop/1176989018

H. Hajri, Stochastic flows related to Walsh Brownian motion, Electron. J. Probab., 16, Article 58, 1563–1599 (2011);

DOI: 10.1214/EJP.v16-924. DOI: https://doi.org/10.1214/EJP.v16-924

H. Hajri, O. Raimond, Stochastic flows on metric graphs, Electron. J. Probab., 19, Article~12, 1–20 (2014). DOI: https://doi.org/10.1214/EJP.v19-2773

H. Hajri, O. Raimond, Stochastic flows and an interface SDE on metric graphs, Stochastic Process. and Appl., 126, № 1, 33–65 (2016). DOI: https://doi.org/10.1016/j.spa.2015.07.014

J. M. Harrison, L. A. Shepp, On skew Brownian motion, Ann. Probab., 9, 309–313 (1981); DOI: 10.1214/aop/ 1176994472. DOI: https://doi.org/10.1214/aop/1176994472

H. Kunita, Stochastic flows and stochastic differential equations, Cambridge Stud. Adv. Math., vol. 24, Cambridge Univ. Press, Cambridge (1997).

Y. Le Jan, O. Raimond, Flows, coalescence and noise, Ann. Probab., 32, № 2, 1247–1315 (2004). DOI: https://doi.org/10.1214/009117904000000207

Y. Le Jan, O. Raimond, Flows associated to Tanaka’s SDE, ALEA, Lat. Amer. J. Probab. Math. Stat., 1, 21–34 (2006).

Y. Le Jan, O. Raimond, Three examples of Brownian flows on $R$, Ann. Inst. Henri Poincaré, Probab. Stat., 50, № 4, 1323–1346 (2014). DOI: https://doi.org/10.1214/13-AIHP541

Y. Le Jan, O. Raimond, Correction to ``Flows, coalescence and noise'', Ann. Probab., 48, № 3, 1592–1595 (2020). DOI: https://doi.org/10.1214/19-AOP1394

D. Ray, Sojourn times of diffusion processes, Illinois J. Math., 7, 615–630 (1963). DOI: https://doi.org/10.1215/ijm/1255645099

D. Revuz, M. Yor, Continuous martingales and Brownian motion, 3rd ed., 3rd. corrected printing, Grundlehren Math. Wiss, vol. 293, Springer, Berlin (2005).

G. V. Riabov, Random dynamical systems generated by coalescing stochastic flows on $R$, Stoch. Dyn., 18, № 4, Article~1850031 (2018). DOI: https://doi.org/10.1142/S0219493718500314

E. Schertzer, R. Sun, J. M. Swart, Stochastic flows in the Brownian web and net, Mem. Amer. Math. Soc., vol. 1065, Amer. Math. Soc., Providence, RI (2014); DOI: 10.1090/S0065-9266-2013-00687-9. DOI: https://doi.org/10.1090/S0065-9266-2013-00687-9

S. M. Srivastava, A course on Borel sets, Grad. Texts Math., vol. 180, Springer, New York (1998). DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-85473-6

H. Tanaka, Some theorems concerning extrema of Brownian motion with $d$-dimensional time, Osaka J. Math., 38, № 2, 369–377(2001).