Локально максимальні атрактори розтягуючих динамічних систем

О. М.  Шарковський; В. С. Бондарчук; А. Г.  Сівак

doi:10.3842/umzh.v76i1.7928

О. М. Шарковський Інститут математики НАН України, Київ
В. С. Бондарчук Інститут математики НАН України, Київ
А. Г. Сівак Інститут математики НАН України, Київ

DOI: https://doi.org/10.3842/umzh.v76i1.7928

Ключові слова: -

Анотація

УДК 517.9

Вивчаються локально максимальнi атрактори розтягуючих динамiчних систем. Основним результатом роботи є зображення таких атракторів топологiчними ланцюгами Маркова, що відповідають марковським розбиттям цих атракторiв, яке дозволяє описати динаміку системи на них.

Уперше марковські розбиття побудував Я. Г. Сінай [Функц. анализ и его прил., 2, № 1, 64–89; № 3, 70–80 (1968); English translation: Funct. Anal. and Appl., 2, № 1, 61–82; № 3, 245–253 (1968)] для дифеоморфізмів Аносова. Розтягуючі ендоморфізми, як найпростіші представники ендоморфізмів, уперше розглянув М. Шуб [Amer. J. Math., 91, № 1, 175–200 (1969)]. При побудові марковських розбиттів для розтягуючих ендоморфізмів ми відповідним чином модернізуємо метод Я. Г. Сіная.

Більш повна історія є в статті О. М. Шарковського [Укр. мат. журн., 74, № 12, 1709–1718 (2023); English translation: Ukr. Math. J., 74, № 12, 1950–1960 (2023)]. О. М. Шарковський зазначає, що методи доведення основних результатiв [Докл. АН СССР, 170, № 6, 1276–1278 (1966); English translation: Soviet Math. Dokl., 7, № 5, 1384–1386 (1966)] були фактично опублiкованi ще в 1973 роцi у важкодоступній збірці статей Інституту математики АН України „Динамические системы и вопросы устойчивости решений дифференциальных уравнений'', хоча і в застосуваннi вже до дещо iнших об’єктiв, і ніколи не були перекладені англійською мовою. Авторам невідомі аналогічні результати такого роду. Враховуючи таку історію та важливість підходу (на основі марковських розбиттів і топологічних ланцюгів Маркова), для опису побудови атракторів доцільно ці результати по-новому опублікувати.

Посилання

Я. Г. Синай, Марковские разбиения и У-диффеоморфизмы, Функц. анализ и его прил., 2, № 1, 64–89 (1968); English translation: Funct. Anal. Appl., 2, № 1, 61–82 (1968).

Я. Г. Синай, Построение марковских разбиений, Функц. анализ и его прил., 2, № 3, 70–80 (1968); English translation: Funct. Anal. Appl., 2, № 3, 245–253 (1968).

M. Shub, Endomorphisms of compact differentiable manifolds, Amer. J. Math., 91, № 1, 175–200 (1969).

О. М. Шарковський, Дескриптивна теорія детермінованого хаосу, Укр. мат. журн., 74, № 12, 1709–1718 (2023); English translation: Ukr. Math. J., 74, № 12, 1950–1960 (2023).

А. Н. Шарковский, Частично упорядоченная система притягивающих множеств, Докл. АН СССР, 170, № 6, 1276–1278 (1966); English translation: Soviet Math. Dokl., 7, № 5, 1384–1386 (1966).

А. Н. Шарковский, В. С. Бондарчук, О частично упорядоченной системе $omega$-предельных множеств растягивающих эндоморфизмов, Динамические системы и вопросы устойчивости решений дифференциальных уравнений, Институт математики АН УССР, 128–164 (1973).

А. Н. Шарковский, Аттракторы траекторий и их бассейны, Наук. думка, Киев (2013).

А. Н. Шарковский, Об $omega$-предельных множествах дискретных динамических систем, Дис. ... д-ра физ.-мат. наук, Киев (1966).

В. М. Алексеев, Квазислучайные динамические системы, Мат. сб., 76(118), № 1, 72--134 (1968); English translation: Math. USSR-Sb., 5, № 1, 73–128 (1968).

В. М. Алексеев, Перроновские множества и топологические цепи Маркова, Укр. мат. журн., 24, № 5, 227–228 (1969).

Д. Б. Каток, Динамические системы с гиперболической структурой, Девятая летняя математическая школа, Институт математики АН УССР, 125–212 (1972).

Д. Громол, В. Клингенберг, В. Мейер, Риманова геометрия в целом, Мир, Москва (1971); translation from German: D. Gromoll, W. Klingenberg, W. Meyer, Riemannsche Geometrie im Grossen, Springer (1968).

К. Куратовский, Топология, т. 1, 2, Мир, Москва (1966–1969); translation from English: K. Kuratowski, Topology, Vols.~1, 2, Academic Press (1968).